어떤 문제인가
이 문제는 등비수열의 성질을 이용하여 첫째항 $a_1$의 값을 구하는 문제입니다. 문제를 해결하기 위해 아래의 핵심 개념들을 잘 이해하고 적용해야 합니다.
- 등비수열의 일반항: 첫째항이 $a_1$이고 공비가 $r$인 등비수열의 일반항은 $a_n = a_1 r^{n-1}$입니다.
- 식의 변형과 인수분해: 복잡해 보이는 합의 공식을 공통인수로 묶어 간단한 형태로 만듭니다.
- 연립방정식 풀이 (나눗셈 이용): 등비수열에서는 두 식을 서로 나누어 공비 $r$을 쉽게 구할 수 있습니다.
단계별 풀이
1단계: 주어진 조건을 첫째항 $a_1$과 공비 $r$로 나타내기
등비수열의 각 항을 첫째항 $a_1$과 공비 $r$ (단, $r > 0$)을 사용한 식으로 바꾸어 써봅시다. 그래야 우리가 아는 문자로 연립방정식을 세울 수 있으니까요.
- $a_2 = a_1 r$
- $a_4 = a_1 r^3$
- $a_6 = a_1 r^5$
이제 문제에서 주어진 두 식에 대입해 봅니다.
첫 번째 식:
$$a_2 + a_4 = 30 \implies a_1 r + a_1 r^3 = 30$$
공통인수인 $a_1 r$로 묶어주면 다음과 같습니다.
$$a_1 r (1 + r^2) = 30 \quad \cdots \text{ (식 1)}$$
두 번째 식:
$$a_4 + a_6 = \frac{15}{2} \implies a_1 r^3 + a_1 r^5 = \frac{15}{2}$$
공통인수인 $a_1 r^3$으로 묶어주면 다음과 같습니다.
$$a_1 r^3 (1 + r^2) = \frac{15}{2} \quad \cdots \text{ (식 2)}$$
2단계: 두 식을 나누어 공비 $r$ 구하기
등차수열에서는 두 식을 주로 '빼서' 공차를 구하지만, 등비수열에서는 두 식을 '나누어서' 공비를 구하는 것이 훨씬 편리합니다.
$\text{(식 2)}$를 $\text{(식 1)}$로 나누어 봅시다.
$$\frac{a_1 r^3 (1 + r^2)}{a_1 r (1 + r^2)} = \frac{\frac{15}{2}}{30}$$
좌변에서 $a_1$과 $(1+r^2)$이 약분되어 아주 간단해집니다!
$$r^2 = \frac{15}{2 \times 30} = \frac{15}{60} = \frac{1}{4}$$
문제에서 공비가 양수라고 했으므로 ($r > 0$),
$$r = \frac{1}{2}$$
임을 알 수 있습니다.
3단계: 첫째항 $a_1$ 구하기
이제 구한 공비 $r = \frac{1}{2}$을 $\text{(식 1)}$에 대입하여 첫째항 $a_1$을 구합니다.
$$a_1 \left(\frac{1}{2}\right) \left(1 + \left(\frac{1}{2}\right)^2\right) = 30$$
괄호 안을 계산하면,
$$a_1 \left(\frac{1}{2}\right) \left(1 + \frac{1}{4}\right) = 30$$
$$a_1 \left(\frac{1}{2}\right) \left(\frac{5}{4}\right) = 30$$
$$a_1 \left(\frac{5}{8}\right) = 30$$
양변에 $\frac{8}{5}$을 곱해주면,
$$a_1 = 30 \times \frac{8}{5} = 6 \times 8 = 48$$
따라서 첫째항 $a_1$의 값은 $48$입니다.
답
① $48$
확인해보기
이 문제에서 두 식을 연립할 때, 서로 빼지 않고 나눗셈을 이용한 이유는 무엇일까요? 등비수열의 일반항 구조와 관련지어 생각해 보세요.