어떤 문제인가
이 문제는 두 함수가 곱해진 형태인 $g(x) = x^2 f(x)$의 미분계수 $g'(2)$를 구하는 문제입니다.
문제를 해결하기 위해 알아야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다:
- 곱의 미분법 (Product Rule): 두 함수가 곱해진 형태의 식을 미분하는 방법입니다.
- 미분계수의 대입: 미분해서 얻은 도함수 $g'(x)$에 $x=2$를 대입하여 원하는 값을 계산하는 과정입니다.
단계별 풀이
1단계: 곱의 미분법을 공식으로 적용하기
함수 $g(x)$는 $x^2$이라는 식과 $f(x)$라는 식의 곱으로 이루어져 있습니다.
두 함수의 곱 $u(x) \cdot v(x)$를 미분할 때는 "앞에 거 미분하고 뒤에 거 그대로, 더하기 앞에 거 그대로 두고 뒤에 거 미분"하는 규칙을 따릅니다.
$$ (u \cdot v)' = u'v + uv' $$
이 규칙을 $g(x) = x^2 f(x)$에 적용해 봅시다.
- 앞에 있는 식: $u(x) = x^2 \implies u'(x) = 2x$
- 뒤에 있는 식: $v(x) = f(x) \implies v'(x) = f'(x)$
따라서 $g(x)$를 미분한 함수 $g'(x)$는 다음과 같습니다.
$$g'(x) = (x^2)' \cdot f(x) + x^2 \cdot f'(x)$$
$$g'(x) = 2x f(x) + x^2 f'(x)$$
2단계: 구하고자 하는 $g'(2)$를 위해 $x=2$ 대입하기
우리가 구해야 하는 값은 $x=2$일 때의 미분계수인 $g'(2)$입니다. 위에서 구한 $g'(x)$ 식의 모든 $x$ 자리에 $2$를 대입해 봅시다.
$$g'(2) = 2(2) \cdot f(2) + 2^2 \cdot f'(2)$$
정리하면 다음과 같습니다.
$$g'(2) = 4f(2) + 4f'(2)$$
3단계: 주어진 조건 대입하여 계산하기
문제에서 아주 친절하게 두 가지 단서를 주었습니다.
- $f(2) = 1$
- $f'(2) = 3$
이 값들을 2단계에서 얻은 식에 그대로 대입해 볼까요?
$$g'(2) = 4 \cdot (1) + 4 \cdot (3)$$
$$g'(2) = 4 + 12 = 16$$
따라서 우리가 구하고자 하는 $g'(2)$의 값은 $16$입니다.
답
③ $16$
확인해보기
오늘 배운 곱의 미분법을 잘 이해했는지 스스로 확인해 볼까요?
> [질문]
> 다항함수 $h(x)$에 대하여 $g(x) = x^3 h(x)$ 일 때, $g'(1)$을 구하는 식을 $h(1)$과 $h'(1)$을 사용하여 나타내면 어떻게 될까요? 직접 노트에 식을 세워보세요!