어떤 문제인가
이 문제는 주어진 삼각함수의 조건들을 활용하여 특정 각에 대한 코사인($\cos\theta$) 값을 구하는 문제입니다. 이 문제를 해결하기 위해 우리는 다음 세 가지 핵심 개념을 사용할 거예요.
- 각 변환 공식: $\cos\left(\frac{\pi}{2} + \theta\right)$를 간단한 삼각함수 식으로 바꾸기
- 삼각함수의 부호: 사분면에 따른 $\sin$, $\cos$, $\tan$의 부호 결정하기 (일명 '올-사-탄-코')
- 삼각함수의 기본 관계식: $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ 공식 활용하기
단계별 풀이
1단계: 각 변환 공식을 이용해 조건식 단순화하기
먼저 문제에서 주어진 복잡한 식 $\cos\left(\frac{\pi}{2} + \theta\right) = \frac{\sqrt{5}}{5}$를 정리해 봅시다.
각 변환 공식에 의하면, $\frac{\pi}{2}$($90^\circ$)에 $\theta$를 더한 각은 제2사분면에 위치하므로 코사인의 부호는 마이너스($-$)가 되고, 함수는 사인($\sin$)으로 바뀝니다.
$$\cos\left(\frac{\pi}{2} + \theta\right) = -\sin\theta$$
따라서 문제의 식은 다음과 같이 쓸 수 있습니다.
$$-\sin\theta = \frac{\sqrt{5}}{5}$$
$$\sin\theta = -\frac{\sqrt{5}}{5}$$
이로써 우리는 $\sin\theta$의 값이 음수($< 0$)라는 아주 중요한 단서를 얻었습니다!
2단계: $\theta$가 몇 사분면의 각인지 알아내고 $\cos\theta$의 부호 결정하기
이제 $\cos\theta$의 부호가 플러스($+$)인지 마이너스($-$)인지 알아내야 합니다. 문제에서 준 조건과 1단계에서 구한 결과를 비교해 봅시다.
- 조건 1: $\tan\theta < 0$ (탄젠트가 음수)
- 조건 2: $\sin\theta < 0$ (사인도 음수)
사분면별 삼각함수의 부호('올-사-탄-코')를 떠올려 볼까요?
- 제1사분면: 모두 $+$
- 제2사분면: $\sin$만 $+$
- 제3사분면: $\tan$만 $+$
- 제4사분면: $\cos$만 $+$
$\sin$과 $\tan$이 모두 음수인 사분면은 바로 제4사분면입니다!
제4사분면에서는 오직 코사인($\cos$)만 양수($+$) 값을 가집니다.
따라서 우리가 구하고자 하는 **$\cos\theta$의 부호는 양수($> 0$)**입니다.
3단계: 삼각함수 관계식을 이용해 $\cos\theta$ 값 계산하기
사인과 코사인 사이의 가장 기본적이고 강력한 공식인 $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$을 사용해 봅시다.
이 식에 우리가 구한 $\sin\theta = -\frac{\sqrt{5}}{5}$를 대입합니다.
$$\left(-\frac{\sqrt{5}}{5}\right)^2 + \cos^2\theta = 1$$
$$\frac{5}{25} + \cos^2\theta = 1$$
$$\frac{1}{5} + \cos^2\theta = 1$$
$$\cos^2\theta = 1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}$$
제곱을 벗겨내면 $\cos\theta = \pm\sqrt{\frac{4}{5}}$가 되는데, 2단계에서 **$\cos\theta > 0$**임을 확인했으므로 양수 값만 선택합니다.
$$\cos\theta = \sqrt{\frac{4}{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}}$$
분모를 유리화하면 다음과 같습니다.
$$\cos\theta = \frac{2\sqrt{5}}{5}$$
답
정답은 ⑤번인 **$\frac{2\sqrt{5}}{5}$** 입니다.
확인해보기
오늘 배운 사분면에 따른 삼각함수의 부호 개념을 잘 이해했는지 스스로 점검해 보세요!
> 질문: $\sin\theta > 0$ 이고 $\cos\theta < 0$ 일 때, 각 $\theta$는 제 몇 사분면의 각일까요? 그리고 이때 $\tan\theta$의 부호는 어떻게 될까요?