어떤 문제인가
이 문제는 삼차함수의 극대와 극소의 성질을 이용하여 미지수의 값을 구하는 문제입니다. 이 문제를 해결하기 위해 꼭 알아야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다.
- 도함수와 극대·극소: 미분가능한 함수 $f(x)$가 $x=c$에서 극값을 가지면, 그 지점에서의 접선의 기울기는 $0$이 됩니다. 즉, $f'(c) = 0$입니다.
- 도함수의 부호 변화: 도함수 $f'(x)$의 부호가 양(+)에서 음(-)으로 바뀌면 극대, 음(-)에서 양(+)으로 바뀌면 극소입니다.
단계별 풀이
1단계: 함수의 도함수 $f'(x)$ 구하기
함수의 극대와 극소를 찾기 위해서는 먼저 접선의 기울기를 알려주는 도함수 $f'(x)$를 구해야 합니다. 주어진 함수 $f(x) = 2x^3 - 9x^2 + ax + 5$를 $x$에 대해 미분해 봅시다.
$$f'(x) = 6x^2 - 18x + a$$
2단계: $x=1$에서 극대라는 조건을 이용하여 $a$ 구하기
문제에서 $x=1$에서 극대라고 했습니다. 함수 $f(x)$는 모든 실수에서 미분가능한 다항함수이므로, 극대점인 $x=1$에서 도함수 값은 $0$이 되어야 합니다. 즉, $f'(1) = 0$입니다.
$f'(x)$에 $x=1$을 대입해 볼까요?
$$f'(1) = 6(1)^2 - 18(1) + a = 0$$
$$6 - 18 + a = 0$$
$$-12 + a = 0$$
따라서, 우리는 **$a = 12$**라는 값을 얻을 수 있습니다.
3단계: $a$를 대입하여 도함수 완성하고, 극소점 $b$ 찾기
이제 구한 $a=12$를 도함수 식에 대입하여 식을 완성합니다.
$$f'(x) = 6x^2 - 18x + 12$$
극대와 극소는 모두 $f'(x) = 0$이 되는 지점에서 나타나므로, 이 이차방정식을 풀어 x값을 구해봅시다. 양변을 $6$으로 나누어 인수분해를 합니다.
$$6(x^2 - 3x + 2) = 0$$
$$6(x-1)(x-2) = 0$$
이 식을 만족하는 $x$의 값은 $x=1$ 또는 $x=2$입니다.
- $x=1$에서는 이미 문제에서 '극대'라고 알려주었습니다.
- 따라서 남은 **$x=2$에서 함수는 극소**를 갖게 됩니다.
즉, **$b = 2$**입니다.
4단계: $a+b$ 계산하기
우리가 구한 $a$와 $b$의 값을 더해줍니다.
$$a + b = 12 + 2 = 14$$
답
② 14
확인해보기
> 질문: 만약 어떤 함수 $g(x)$에 대해 $g'(c) = 0$이라면, $x=c$에서 함수 $g(x)$는 항상 극대 또는 극소 값을 갖는다고 말할 수 있을까요? (힌트: $g(x) = x^3$ 그래프의 $x=0$에서의 모습을 떠올려 보세요.)