어떤 문제인가
이 문제는 주어진 등차수열의 성질을 이용해서 무리수가 포함된 수열의 합을 구하고, 이를 통해 특정 항의 값을 찾는 문제입니다.
이 문제를 해결하기 위해 우리가 알아야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다:
- 등차수열의 일반항과 공차의 관계: 첫째항과 공차가 같다는 조건을 식 세우기에 어떻게 적용할 것인가?
- 분모의 유리화: 분모에 루트(제곱근)가 있을 때, 이를 계산하기 쉬운 형태로 바꾸는 방법
- 망원급수(소거형 합): 수열의 합을 나열했을 때, 이웃한 항들이 서로 지워지는 규칙 찾기
단계별 풀이
1단계: 등차수열 $\{a_n\}$의 특징을 문자로 나타내기
모든 항이 양수이고, 첫째항과 공차가 같다고 했습니다.
첫째항을 $a$ ($a > 0$)라고 하면, 공차 $d$도 $a$가 됩니다.
등차수열의 일반항 공식 $a_n = a_1 + (n-1)d$에 대입해 볼까요?
$$a_n = a + (n-1)a = na$$
따라서 각 항은 다음과 같이 아주 간단하게 나타낼 수 있습니다.
- $a_1 = a$
- $a_k = ka$
- $a_{k+1} = (k+1)a$
- 이웃한 두 항의 차는 공차와 같으므로, $a_{k+1} - a_k = d = a$ 입니다.
2단계: 수열의 일반항 분모 유리화하기
시그마($\sum$) 안의 식을 보면 분모에 루트가 있어서 더하기가 어렵게 생겼습니다. 이럴 때는 분모의 유리화를 이용해 식을 보기 좋게 바꾸어야 합니다.
일반항 $\frac{1}{\sqrt{a_k} + \sqrt{a_{k+1}}}$의 분모와 분자에 각각 $(\sqrt{a_{k+1}} - \sqrt{a_k})$를 곱해봅시다. (큰 값을 앞에 두면 계산이 편해요!)
$$\frac{1}{\sqrt{a_{k+1}} + \sqrt{a_k}} = \frac{\sqrt{a_{k+1}} - \sqrt{a_k}}{(\sqrt{a_{k+1}} + \sqrt{a_k})(\sqrt{a_{k+1}} - \sqrt{a_k})}$$
분모를 합차 공식으로 전개하면 다음과 같습니다.
$$= \frac{\sqrt{a_{k+1}} - \sqrt{a_k}}{a_{k+1} - a_k}$$
그런데 1단계에서 이웃한 두 항의 차 $a_{k+1} - a_k$는 공차 $d$ (즉, $a$)라고 했지요? 따라서 식은 다음과 같이 정리됩니다.
$$\frac{\sqrt{a_{k+1}} - \sqrt{a_k}}{a}$$
3단계: 시그마($\sum$) 계산하기 (소거법 적용)
이제 유리화한 식을 원래의 시그마 식에 대입하여 $k=1$부터 $15$까지 더해봅시다. 분모에 있는 $a$는 상수이므로 시그마 밖으로 묶어낼 수 있습니다.
$$\sum_{k=1}^{15} \frac{1}{\sqrt{a_k} + \sqrt{a_{k+1}}} = \frac{1}{a} \sum_{k=1}^{15} (\sqrt{a_{k+1}} - \sqrt{a_k})$$
괄호 안의 식에 $k=1$부터 $15$까지 차례대로 대입하여 나열해 볼까요?
- $k=1$ 일 때: $\sqrt{a_2} - \sqrt{a_1}$
- $k=2$ 일 때: $\sqrt{a_3} - \sqrt{a_2}$
- $k=3$ 일 때: $\sqrt{a_4} - \sqrt{a_3}$
- ...
- $k=15$ 일 때: $\sqrt{a_{16}} - \sqrt{a_{15}}$
이 식들을 모두 더하면 어떻게 될까요?
$$(\sqrt{a_2} - \sqrt{a_1}) + (\sqrt{a_3} - \sqrt{a_2}) + (\sqrt{a_4} - \sqrt{a_3}) + \dots + (\sqrt{a_{16}} - \sqrt{a_{15}})$$
이웃한 항들이 서로 지워지는 것이 보이나요? $\sqrt{a_2}, \sqrt{a_3}, \dots, \sqrt{a_{15}}$가 모두 앞뒤로 지워지고 결국 가장 작은 항과 가장 큰 항만 남게 됩니다.
$$= \sqrt{a_{16}} - \sqrt{a_1}$$
따라서 전체 합은 다음과 같이 정리됩니다.
$$\frac{\sqrt{a_{16}} - \sqrt{a_1}}{a} = 2$$
4단계: $a$의 값 구하기
1단계에서 구한 일반항 $a_n = na$를 대입해 봅시다.
- $a_1 = a$
- $a_{16} = 16a$
이 값을 식에 대입하면:
$$\frac{\sqrt{16a} - \sqrt{a}}{a} = 2$$
$\sqrt{16a} = 4\sqrt{a}$ 이므로 분자를 정리하면:
$$\frac{4\sqrt{a} - \sqrt{a}}{a} = 2$$
$$\frac{3\sqrt{a}}{a} = 2$$
분모의 $a$를 $(\sqrt{a})^2$으로 생각하여 약분하면:
$$\frac{3}{\sqrt{a}} = 2$$
$$\sqrt{a} = \frac{3}{2}$$
양변을 제곱하면 첫째항이자 공차인 $a$의 값을 구할 수 있습니다.
$$a = \frac{9}{4}$$
5단계: $a_4$의 값 구하기
우리가 구하고자 하는 것은 $a_4$입니다.
$$a_4 = 4a$$
여기에 구한 $a$의 값을 대입하면:
$$a_4 = 4 \times \frac{9}{4} = 9$$
답
④ $9$
확인해보기
위 풀이에서 분모를 유리화한 후 시그마를 전개했을 때 중간 항들이 모두 지워지는 규칙을 발견했습니다.
만약 이 문제에서 시그마의 범위가 $k=1$부터 $15$까지가 아니라, **$k=1$부터 $8$까지**였다면 소거되고 남는 분자의 식은 어떻게 변할지 스스로 생각해보세요.