어떤 문제인가
이 문제는 곡선 밖에 있는 한 점 $(0, 4)$에서 삼차함수 곡선 $y=x^3-x+2$에 그은 접선의 방정식을 구하고, 그 접선이 $x$축과 만나는 점($x$절편)을 찾는 문제입니다.
이 문제를 풀기 위해 우리가 알아야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다:
- 접점의 좌표 가정하기: 곡선 밖의 점에서 그은 접선 문제를 풀 때는, 먼저 곡선 위의 임의의 접점의 좌표를 $(t, f(t))$로 잡고 시작해야 합니다.
- 도함수와 접선의 기울기: 함수를 미분하여 얻은 도함수 $f'(x)$에 접점의 $x$좌표인 $t$를 대입하면 접선의 기울기를 구할 수 있습니다.
- **접선의 방정식과 $x$절편**: 한 점과 기울기를 알 때 직선의 방정식을 세우고, $y=0$일 때의 $x$값을 구합니다.
단계별 풀이
1단계: 접점의 좌표와 접선의 기울기 나타내기
우선 주어진 곡선의 식을 $f(x) = x^3 - x + 2$라고 합시다. 점 $(0, 4)$는 곡선 위의 점이 아니므로(대입해보면 $4 \neq 2$입니다), 곡선 위에 있는 실제 접점의 좌표를 임의의 실수 $t$를 사용해 다음과 같이 놓습니다.
$$\text{접점의 좌표: } (t, t^3 - t + 2)$$
이제 접선의 기울기를 구하기 위해 함수 $f(x)$를 미분합니다.
$$f'(x) = 3x^2 - 1$$
따라서 $x=t$에서의 접선의 기울기는 다음과 같습니다.
$$\text{접선의 기울기: } f'(t) = 3t^2 - 1$$
2단계: $t$에 대한 접선의 방정식 세우기
기울기가 $3t^2 - 1$이고, 점 $(t, t^3 - t + 2)$를 지나는 직선의 방정식을 세워봅시다.
$$y - (t^3 - t + 2) = (3t^2 - 1)(x - t)$$
3단계: 외부의 점 $(0, 4)$를 대입하여 $t$ 구하기
이 접선은 문제에서 주어진 점 $(0, 4)$를 지나야 합니다. 따라서 위 식의 $x$에 $0$, $y$에 $4$를 대입하여 만족하는 $t$의 값을 찾습니다.
$$4 - (t^3 - t + 2) = (3t^2 - 1)(0 - t)$$
좌변과 우변을 정리해 봅시다.
$$4 - t^3 + t - 2 = -t(3t^2 - 1)$$
$$-t^3 + t + 2 = -3t^3 + t$$
양변에서 $t$를 없애고, 모든 항을 좌변으로 이항합니다.
$$2t^3 + 2 = 0$$
$$t^3 + 1 = 0$$
인수분해 공식을 이용하면 다음과 같습니다.
$$(t+1)(t^2 - t + 1) = 0$$
여기서 $t$는 실수여야 하므로, 실근은 하나뿐입니다.
$$t = -1$$
4단계: 접선의 방정식 완성하고 $x$절편 구하기
구한 $t = -1$을 2단계에서 세운 접선의 방정식에 대입합니다.
- 접점의 좌표: $(-1, (-1)^3 - (-1) + 2) = (-1, 2)$
- 접선의 기울기: $3(-1)^2 - 1 = 2$
따라서 접선의 방정식은 다음과 같습니다.
$$y - 2 = 2(x + 1)$$
$$y = 2x + 4$$
마지막으로 이 접선의 $x$절편을 구하기 위해 $y=0$을 대입합니다.
$$0 = 2x + 4$$
$$2x = -4$$
$$x = -2$$
답
**④ $-2$**
확인해보기
곡선 위의 점에서의 접선을 구할 때와, 이 문제처럼 곡선 밖의 점에서의 접선을 구할 때, 풀이의 첫 단계에서 가장 큰 차이점은 무엇일까요? 스스로 생각해보세요.