어떤 문제인가
이 문제는 주어진 범위 안에서 탄젠트 함수를 포함한 식의 최댓값과 최솟값을 이용하여 미지수 $a$와 $b$의 값을 구하는 문제입니다.
문제를 해결하기 위해 이해해야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다:
- **탄젠트 함수($y = \tan x$)의 그래프와 증가·감소 성질**: 탄젠트 함수가 주기 안에서 증가하는지 감소하는지 파악합니다.
- 합성함수의 증가·감소: $f(x) = a - \sqrt{3}\tan 2x$가 주어진 구간에서 증가하는 함수인지, 감소하는 함수인지 판단합니다.
- 삼각방정식 풀이: 특수각에 대한 삼각비의 값을 이용해 미지수를 구합니다.
단계별 풀이
1단계: 함수 $f(x)$가 증가하는지 감소하는지 파악하기
최댓값과 최솟값이 구간의 어느 지점에서 나타나는지 알기 위해, 함수 $f(x) = a - \sqrt{3}\tan 2x$의 성질을 먼저 살펴봅시다.
- 기본적으로 $y = \tan 2x$는 점근선 사이의 구간에서 $x$값이 커질 때 $y$값도 커지는 증가함수입니다.
- 하지만 이 식에서는 탄젠트 앞에 음수($-\sqrt{3}$)가 곱해져 있습니다. 즉, $y = -\sqrt{3}\tan 2x$는 $x$가 커질 때 $y$값은 작아지는 감소함수가 됩니다.
- 여기에 상수 $a$를 더해도 그래프가 위아래로 평행이동할 뿐, 감소하는 성질은 변하지 않습니다.
따라서 함수 $f(x)$는 주어진 닫힌구간 $\left[-\frac{\pi}{6}, b\right]$에서 정의역의 값이 커질수록 함숫값은 작아지는 감소함수입니다.
이 성질로부터 다음을 알 수 있습니다:
- **최댓값($7$)**은 가장 작은 $x$값인 $x = -\frac{\pi}{6}$에서 가집니다.
- **최솟값($3$)**은 가장 큰 $x$값인 $x = b$에서 가집니다.
2단계: 최댓값을 이용하여 상수 $a$ 구하기
$x = -\frac{\pi}{6}$일 때 최댓값 $7$을 가지므로, $f\left(-\frac{\pi}{6}\right) = 7$입니다. 식에 대입해 봅시다.
$$f\left(-\frac{\pi}{6}\right) = a - \sqrt{3}\tan\left(2 \times \left(-\frac{\pi}{6}\right)\right) = 7$$
괄호 안을 정리하면,
$$a - \sqrt{3}\tan\left(-\frac{\pi}{3}\right) = 7$$
우리가 알고 있는 탄젠트의 성질 $\tan(-\theta) = -\tan\theta$와 $\tan\frac{\pi}{3} = \sqrt{3}$을 이용하면, $\tan\left(-\frac{\pi}{3}\right) = -\sqrt{3}$입니다. 이를 대입해 봅시다.
$$a - \sqrt{3} \times (-\sqrt{3}) = 7$$
$$a + 3 = 7$$
$$a = 4$$
이렇게 해서 $a$의 값을 구했습니다!
3단계: 최솟값을 이용하여 상수 $b$ 구하기
이제 $a=4$임을 알았으니 함수 식은 $f(x) = 4 - \sqrt{3}\tan 2x$가 됩니다.
$x = b$일 때 최솟값 $3$을 가지므로, $f(b) = 3$입니다. 식에 대입해 봅시다.
$$4 - \sqrt{3}\tan 2b = 3$$
양변에서 $4$를 빼면,
$$-\sqrt{3}\tan 2b = -1$$
양변을 $-\sqrt{3}$으로 나누면,
$$\tan 2b = \frac{1}{\sqrt{3}}$$
탄젠트 값이 $\frac{1}{\sqrt{3}}$이 되는 대표적인 각도는 $\frac{\pi}{6}$입니다.
주어진 구간에서 $2b$의 범위를 생각해보면, $-\frac{\pi}{6} \le b < \frac{\pi}{4}$이므로 $-\frac{\pi}{3} \le 2b < \frac{\pi}{2}$입니다. 이 범위 안에서 탄젠트 값이 $\frac{1}{\sqrt{3}}$이 되는 값은 하나뿐입니다.
$$2b = \frac{\pi}{6}$$
$$b = \frac{\pi}{12}$$
이렇게 $b$의 값도 구했습니다!
4단계: $a \times b$ 계산하기
구한 $a$와 $b$의 값을 곱해봅시다.
$$a \times b = 4 \times \frac{\pi}{12} = \frac{\pi}{3}$$
답
**③ $\frac{\pi}{3}$**
확인해보기
만약 함수가 $g(x) = a + \sqrt{3}\tan 2x$ (탄젠트 앞의 부호가 $+$인 경우)였다면, 닫힌구간 $\left[-\frac{\pi}{6}, b\right]$에서 최댓값과 최솟값은 각각 $x$가 어떤 값일 때 가질까요? 그 이유를 스스로 설명해 보세요.