어떤 문제인가
이 문제는 좌표공간에서 점의 대칭이동과 두 점 사이의 거리를 구할 수 있는지를 묻는 문제입니다.
이 문제를 풀기 위해 알아야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다:
- 축에 대한 대칭이동: 어떤 점을 $x$축, $y$축, $z$축에 대해 대칭이동할 때, 좌표의 부호가 어떻게 바뀌는지 이해하기
- 좌표공간에서 두 점 사이의 거리: 피타고라스 정리를 확장한 3차원 공간에서의 거리 공식 사용하기
단계별 풀이
1단계: 점 $\mathrm{A}$를 $x$축에 대해 대칭이동한 점 $\mathrm{B}$의 좌표 구하기
공간에서 어떤 점을 특정 축에 대해 대칭이동하면, 그 축의 좌표는 그대로 유지되고 나머지 두 좌표의 부호는 반대로 바뀝니다.
왜 그럴까요? $x$축을 기준으로 회전하듯 반대편으로 넘기는 것을 상상해 보세요. $x$축 방향의 위치는 변하지 않지만, $y$축과 $z$축 방향의 위치는 정반대가 되기 때문입니다.
따라서 점 $\mathrm{A}(2, 2, -1)$을 $x$축에 대하여 대칭이동한 점 $\mathrm{B}$의 좌표는 다음과 같이 구합니다.
- $x$좌표: $2$ (그대로 유지)
- $y$좌표: $2 \rightarrow -2$ (부호 반대로)
- $z$좌표: $-1 \rightarrow 1$ (부호 반대로)
즉, 점 $\mathrm{B}$의 좌표는 $\mathrm{B}(2, -2, 1)$입니다.
2단계: 선분 $\mathrm{BC}$의 길이 구하기
이제 점 $\mathrm{B}(2, -2, 1)$과 점 $\mathrm{C}(-2, 1, 1)$ 사이의 거리를 구해봅시다.
좌표공간에서 두 점 $(x_1, y_1, z_1)$과 $(x_2, y_2, z_2)$ 사이의 거리 공식은 다음과 같습니다:
$$\text{거리} = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}$$
이 공식에 두 점 $\mathrm{B}$와 $\mathrm{C}$의 좌표를 대입해 계산해 봅시다.
$$\mathrm{BC} = \sqrt{(-2 - 2)^2 + (1 - (-2))^2 + (1 - 1)^2}$$
괄호 안을 먼저 계산하면:
$$\mathrm{BC} = \sqrt{(-4)^2 + (3)^2 + 0^2}$$
$$\mathrm{BC} = \sqrt{16 + 9 + 0}$$
$$\mathrm{BC} = \sqrt{25}$$
$\sqrt{25} = 5$이므로, 선분 $\mathrm{BC}$의 길이는 $5$입니다.
답
⑤ $5$
확인해보기
오늘 배운 대칭이동의 원리를 잘 이해했는지 확인해 볼까요?
> 질문: 점 $\mathrm{C}(-2, 1, 1)$을 $xy$평면에 대하여 대칭이동한 점을 $\mathrm{D}$라고 할 때, 점 $\mathrm{D}$의 좌표는 무엇일까요? (평면에 대한 대칭이동은 어떤 좌표의 부호가 바뀔지 생각해 보세요!)