어떤 문제인가
이 문제는 주어진 초점과 준선의 위치를 이용해서 포물선의 방정식을 구하고, 그 포물선이 특정 점을 지날 때 미지수 $a$의 값을 구하는 문제입니다.
이 문제를 풀기 위해 알아야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다:
- 포물선의 정의와 기본 방정식: 초점이 $\mathrm{F}(p, 0)$이고 준선이 $x = -p$인 포물선의 방정식은 $y^2 = 4px$입니다.
- 그래프 위의 점: 어떤 곡선이 점 $(x_1, y_1)$을 지난다는 것은, 곡선의 방정식에 이 점의 좌표를 대입했을 때 등식이 성립한다는 뜻입니다.
단계별 풀이
1단계: 포물선의 방정식 구하기
포물선의 초점의 좌표가 $\mathrm{F}\left(\frac{1}{3}, 0\right)$이고 준선의 방정식이 $x = -\frac{1}{3}$이라고 주어졌습니다.
초점이 $x$축 위에 있고 준선이 $y$축과 평행하므로, 이 포물선의 기본형 방정식은 다음과 같습니다.
$$y^2 = 4px$$
여기서 초점의 좌표가 $(p, 0)$이므로, $p = \frac{1}{3}$임을 알 수 있습니다. (준선 $x = -p$와도 일치하지요?)
이 $p$ 값을 방정식에 대입해 봅시다.
$$y^2 = 4 \cdot \frac{1}{3} \cdot x$$
$$y^2 = \frac{4}{3}x$$
이로써 우리가 구하고자 하는 포물선의 방정식을 완성했습니다.
2단계: 점 $(a, 2)$를 대입하여 $a$ 구하기
이 포물선이 점 $(a, 2)$를 지난다고 했습니다. 점의 좌표를 우리가 구한 포물선의 방정식 $y^2 = \frac{4}{3}x$에 대입해 봅시다.
$x$ 대신에 $a$를, $y$ 대신에 $2$를 넣으면 됩니다.
$$2^2 = \frac{4}{3} \cdot a$$
$$4 = \frac{4}{3}a$$
양변에 $\frac{3}{4}$을 곱하여 $a$의 값을 구합니다.
$$a = 4 \cdot \frac{3}{4}$$
$$a = 3$$
따라서 구하고자 하는 $a$의 값은 $3$입니다.
답
③ $3$
확인해보기
만약 초점이 $\mathrm{F}(0, 2)$이고 준선이 $y = -2$인 포물선이 있다면, 이 포물선의 방정식은 어떤 형태($y^2 = 4px$ 또는 $x^2 = 4py$)가 되어야 할까요? 그리고 그 식은 무엇일까요? (스스로 생각해보세요!)