어떤 문제인가
이 문제는 주어진 타원의 성질을 이용해서 두 초점 사이의 거리를 구하는 문제입니다. 이 문제를 해결하기 위해 우리는 다음 3가지 핵심 개념을 사용할 거예요.
- 타원 위의 점: 타원 위의 한 점의 좌표를 타원의 방정식에 대입하면 등식이 성립합니다.
- 타원의 접선의 방정식: 타원 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ 위의 점 $(x_1, y_1)$에서의 접선의 방정식은 $\frac{x_1 x}{a^2} + \frac{y_1 y}{b^2} = 1$ 입니다.
- 타원의 초점: $a^2 > b^2$ 일 때, 초점의 좌표를 $(c, 0), (-c, 0)$이라 하면 $c^2 = a^2 - b^2$이 성립하며, 두 초점 사이의 거리는 $2c$입니다.
단계별 풀이
1단계: 점 $(2, 1)$이 타원 위에 있다는 조건 활용하기
점 $(2, 1)$은 타원 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ 위의 점이므로, 이 좌표를 타원의 방정식에 대입할 수 있습니다. $x=2$, $y=1$을 대입해 볼까요?
$$\frac{2^2}{a^2} + \frac{1^2}{b^2} = 1$$
정리하면 다음과 같은 첫 번째 식을 얻을 수 있습니다.
$$\frac{4}{a^2} + \frac{1}{b^2} = 1 \quad \cdots \text{ (식 1)}$$
2단계: 접선의 기울기 조건 활용하기
타원 위의 점 $(2, 1)$에서의 접선의 방정식을 세워봅시다. 공식에 공식적으로 대입하면 다음과 같습니다.
$$\frac{2x}{a^2} + \frac{y}{b^2} = 1$$
이 접선의 기울기를 알기 위해 $y$에 대해 정리해 봅시다. 양변에 $b^2$을 곱하고 이항하면,
$$\frac{y}{b^2} = -\frac{2}{a^2}x + 1$$
$$y = -\frac{2b^2}{a^2}x + b^2$$
이 식에서 $x$의 계수인 $-\frac{2b^2}{a^2}$이 바로 접선의 기울기입니다. 문제에서 이 기울기가 $-\frac{1}{2}$이라고 했으므로, 다음과 같은 식을 세울 수 있습니다.
$$-\frac{2b^2}{a^2} = -\frac{1}{2}$$
양변의 마이너스를 없애고 정리하면,
$$\frac{2b^2}{a^2} = \frac{1}{2} \implies a^2 = 4b^2 \quad \cdots \text{ (식 2)}$$
3단계: $a^2$과 $b^2$의 값 구하기
이제 식 2($a^2 = 4b^2$)를 식 1에 대입하여 두 값을 구해봅시다. 식 1의 $a^2$ 자리에 $4b^2$을 대입합니다.
$$\frac{4}{4b^2} + \frac{1}{b^2} = 1$$
약분하면,
$$\frac{1}{b^2} + \frac{1}{b^2} = 1$$
$$\frac{2}{b^2} = 1 \implies b^2 = 2$$
$b^2 = 2$이므로, 식 2에 대입하면 $a^2$의 값도 구할 수 있습니다.
$$a^2 = 4 \times 2 = 8$$
4단계: 두 초점 사이의 거리 구하기
우리가 구한 타원의 방정식은 $\frac{x^2}{8} + \frac{y^2}{2} = 1$ 입니다.
$a^2 = 8$, $b^2 = 2$로 $a^2 > b^2$이므로 이 타원은 가로로 길쭉한 모양이며, 초점은 $x$축 위에 있습니다.
초점의 $x$좌표를 $c$ ($c > 0$)라고 할 때, 타원의 성질에 의해 다음 공식이 성립합니다.
$$c^2 = a^2 - b^2$$
여기에 우리가 구한 값을 대입하면,
$$c^2 = 8 - 2 = 6$$
$$c = \sqrt{6} \quad (\because c > 0)$$
따라서 두 초점의 좌표는 $(\sqrt{6}, 0)$과 $(-\sqrt{6}, 0)$이 됩니다.
두 초점 사이의 거리는 이 두 점 사이의 거리이므로 $2c$가 됩니다.
$$\text{두 초점 사이의 거리} = 2\sqrt{6}$$
답
**④ $2\sqrt{6}$**
확인해보기
만약 타원의 방정식이 $\frac{x^2}{3} + \frac{y^2}{7} = 1$과 같이 $y$축 방향으로 더 길쭉한 형태($b^2 > a^2$)라면, 이 타원의 초점은 어느 축 위에 존재하며 두 초점 사이의 거리를 구하는 공식은 어떻게 변할까요? 스스로 생각해보세요!