어떤 문제인가
이 문제는 두 벡터 $\vec{p}$와 $\vec{q}$가 나타내는 점 $P$와 $Q$가 각각 좌표평면에서 어떤 도형을 그리는지 파악하고, 두 점 사이의 거리 $|\vec{p} - \vec{q}|$의 최솟값을 구하는 문제입니다.
이 문제를 풀기 위해 이해해야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다:
- 벡터의 내적과 원의 방정식: 두 벡터의 내적이 $0$이라는 조건이 어떤 기하학적 의미(직교)를 가지며, 이것이 어떻게 원을 정의하는지 이해합니다.
- 벡터의 성분 표시와 직선의 방정식: 매개변수 $t$로 표현된 벡터의 성분을 통해 점이 움직이는 자취(직선)를 구합니다.
- 원과 직선 사이의 거리: 원 위의 점과 직선 위의 점 사이의 거리 중 가장 가까운 거리를 구하는 방법을 배웁니다.
단계별 풀이
1단계: 점 $P(\vec{p})$가 그리는 도형 찾기
먼저 첫 번째 조건식을 살펴봅시다.
$$(\vec{p} - \vec{a}) \cdot (\vec{p} - \vec{b}) = 0$$
위치벡터 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{p}$를 각각 점 $A(2, 4)$, $B(2, 8)$, $P(x, y)$의 위치벡터라고 하면, 위 식은 다음과 같이 쓸 수 있습니다.
$$\vec{AP} \cdot \vec{BP} = 0$$
$P$가 $A$, $B$와 다를 때는 두 벡터가 영벡터가 아니므로, 내적이 $0$이라는 조건에서 $\angle APB=90^\circ$를 얻습니다. $P=A$ 또는 $P=B$일 때도 원래의 내적은 $0$이므로 두 끝점을 포함해야 합니다.
성분으로도 확인해 봅시다.
$$(x-2)^2+(y-4)(y-8)=0\quad\Longleftrightarrow\quad(x-2)^2+(y-6)^2=4$$
따라서 두 끝점까지 포함한 원 전체가 자취입니다.
선분 $AB$를 바라보는 각도가 항상 $90^\circ$인 점 $P$의 자취는 바로 선분 $AB$를 지름으로 하는 원이 됩니다.
이 원의 중심 $M$과 반지름 $R$을 구해봅시다.
- 원의 중심 $M$은 선분 $AB$의 중점입니다.
$$M = \left(\frac{2+2}{2}, \frac{4+8}{2}\right) = (2, 6)$$
- 원의 반지름 $R$은 지름 $AB$의 길이의 절반입니다. 선분 $AB$의 길이는 $8 - 4 = 4$이므로, 반지름은 다음과 같습니다.
$$R = 2$$
따라서 점 $P$는 중심이 $(2, 6)$이고 반지름이 $2$인 원 위의 점입니다.
2단계: 점 $Q(\vec{q})$가 그리는 도형 찾기
두 번째 조건식을 성분으로 나타내어 점 $Q$의 위치를 파악해 봅시다.
$$\vec{q} = \frac{1}{2}\vec{a} + t\vec{c}$$
주어진 벡터 $\vec{a} = (2, 4)$, $\vec{c} = (1, 0)$을 대입합니다.
$$\vec{q} = \frac{1}{2}(2, 4) + t(1, 0) = (1, 2) + (t, 0) = (1+t, 2)$$
점 $Q$의 좌표를 $(x, y)$라고 하면 다음과 같습니다.
$$x = 1+t,\quad y = 2$$
여기서 $t$는 임의의 실수이므로 $x$는 모든 실숫값을 가질 수 있지만, $y$는 항상 $2$로 일정합니다.
따라서 점 $Q$는 직선 $y = 2$ 위를 움직이는 점입니다.
3단계: $|\vec{p} - \vec{q}|$의 최솟값 구하기
$|\vec{p} - \vec{q}|$는 원 위의 점 $P$와 직선 $y = 2$ 위의 점 $Q$ 사이의 거리입니다. 이 거리의 최솟값을 구하려면 기하학적인 상황을 그려보면 쉽습니다.
- 원의 중심 $M(2, 6)$에서 직선 $y = 2$까지의 수직 거리 $d$를 구합니다.
* 중심의 $y$좌표는 $6$이고, 직선은 $y=2$이므로 수직 거리는 다음과 같습니다.
$$d = 6 - 2 = 4$$
- 원 위의 점 $P$에서 직선까지의 최단 거리는, 중심에서 직선까지의 거리 $d$에서 원의 반지름 $R$을 뺀 값과 같습니다.
$$\text{최솟값} = d - R = 4 - 2 = 2$$
이 값은 $P=A=(2,4)$, $Q=(2,2)$일 때 실제로 얻어집니다. 이때 첫 번째 내적에는 영벡터가 포함되지만, 문제의 식은 그대로 만족합니다. 따라서 두 점 사이의 거리의 최솟값은 $2$입니다.
답
② $2$
확인해보기
만약 점 $Q$가 나타내는 직선이 $y = 2$가 아니라 $y = 5$라면, $|\vec{p} - \vec{q}|$의 최솟값은 얼마가 될까요? 원과 직선의 위치 관계를 생각하며 스스로 답을 구해보세요.