어떤 문제인가
이 문제는 공간도형에서 두 평면이 이루는 각(이면각)의 크기를 구하는 문제입니다. 삼차원 공간에서의 위치 관계를 직관적으로 이해하고, 이를 평면도형으로 단순화하여 해결하는 것이 핵심입니다.
이 문제를 풀기 위해 사용할 핵심 개념 3가지는 다음과 같습니다:
- 삼수선의 정리: 공간에서 수선들 사이의 관계를 밝혀주는 정리로, 이면각을 구하기 위한 수선을 찾을 때 필수적입니다.
- 직선과 평면이 이루는 각: 직선 위의 한 점에서 평면에 내린 수선의 발을 이용해 정의합니다.
- 이면각의 정의: 두 평면이 만나는 교선에 각각 수직인 두 직선이 이루는 각입니다.
단계별 풀이
1단계: 삼수선의 정리를 활용하여 보조선 긋기
두 평면 $\text{ABC}$와 $\alpha$가 이루는 예각의 크기 $\theta_2$를 구하려면, 두 평면의 교선인 직선 $\text{AB}$에 수직인 선분들을 찾아야 합니다.
- 점 $\text{C}$에서 평면 $\alpha$에 내린 수선의 발을 $\text{H}$라 합시다. (${\text{CH}} \perp \alpha$)
- 점 $\text{H}$에서 직선 $\text{AB}$에 내린 수선의 발을 $\text{D}$라 합시다. (${\text{HD}} \perp \text{AB}$)
- 삼수선의 정리에 의해, 점 $\text{C}$와 $\text{D}$를 이은 직선 역시 직선 $\text{AB}$와 수직이 됩니다. (${\text{CD}} \perp \text{AB}$)
따라서, 두 평면 $\text{ABC}$와 $\alpha$가 이루는 이면각 $\theta_2$는 바로 **$\angle\text{CDH}$**가 됩니다. 우리는 직각삼각형 $\text{CHD}$에서 삼각비를 이용해 $\cos\theta_2$를 구할 것입니다.
2단계: 계산을 쉽게 하기 위해 선분의 길이 가정하기
비율을 다루는 문제이므로, 계산을 편리하게 하기 위해 선분 $\text{AC}$의 길이를 임의의 상수 $5$로 잡겠습니다. ($AC = 5$)
문제에서 직선 $\text{AB}$와 직선 $\text{AC}$가 이루는 예각의 크기가 $\theta_1$이고, $\sin\theta_1 = \frac{4}{5}$라고 했습니다.
$\theta_1$은 예각이므로, 삼각함수의 성질에 의해 다음과 같습니다.
$$\cos\theta_1 = \sqrt{1 - \sin^2\theta_1} = \sqrt{1 - \left(\frac{4}{5}\right)^2} = \frac{3}{5}$$
3단계: 직각삼각형들을 이용하여 선분의 길이 구하기
이제 우리가 만든 직각삼각형들에서 필요한 변의 길이를 하나씩 구해봅시다.
- **직각삼각형 $\text{ADC}$에서 ($\angle\text{ADC} = \frac{\pi}{2}$):**
직선 $\text{CD}$는 직선 $\text{AB}$와 수직이고, $\angle\text{CAD} = \theta_1$입니다.
$$CD = AC \sin\theta_1 = 5 \times \frac{4}{5} = 4$$
- **직각삼각형 $\text{AHC}$에서 ($\angle\text{AHC} = \frac{\pi}{2}$):**
직선 $\text{AC}$와 평면 $\alpha$가 이루는 각의 크기가 $\frac{\pi}{2} - \theta_1$이므로, $\angle\text{CAH} = \frac{\pi}{2} - \theta_1$입니다.
$$CH = AC \sin\left(\frac{\pi}{2} - \theta_1\right) = AC \cos\theta_1 = 5 \times \frac{3}{5} = 3$$
4단계: 직각삼각형 $\text{CHD}$에서 $\cos\theta_2$ 구하기
우리가 구하고자 하는 이면각 $\theta_2$는 $\angle\text{CDH}$입니다.
선분 $\text{CH}$는 평면 $\alpha$에 수직이므로, 평면 $\alpha$ 위에 있는 선분 $\text{HD}$와도 수직입니다. 즉, $\triangle\text{CHD}$는 $\angle\text{CHD} = \frac{\pi}{2}$인 직각삼각형입니다.
피타고라스 정리에 의해 선분 $\text{HD}$의 길이를 구하면 다음과 같습니다.
$$HD = \sqrt{CD^2 - CH^2} = \sqrt{4^2 - 3^2} = \sqrt{16 - 9} = \sqrt{7}$$
따라서, 직각삼각형 $\text{CHD}$에서 $\cos\theta_2$의 값은 다음과 같습니다.
$$\cos\theta_2 = \frac{HD}{CD} = \frac{\sqrt{7}}{4}$$
답
**① $\frac{\sqrt{7}}{4}$**
확인해보기
삼수선의 정리를 적용할 때, 왜 $\angle\text{CDH}$가 두 평면 $\text{ABC}$와 $\alpha$가 이루는 이면각이 되는지 그 이유를 '교선'과 '수직'이라는 단어를 사용하여 스스로 설명해 보세요.