반갑습니다! 오늘 함께 풀어볼 문제는 쌍곡선의 정의와 성질, 그리고 도형의 닮음과 삼각비를 종합적으로 활용해야 하는 아주 좋은 문제입니다.
천천히 한 단계씩 개념을 짚어가며 풀어봅시다. 준비되었나요?
어떤 문제인가
이 문제는 쌍곡선 위의 점이 가진 기하학적 성질을 이용해 쌍곡선의 주축의 길이($2a$)를 구하는 문제입니다. 문제를 해결하기 위해 우리는 다음 3가지 핵심 개념을 사용할 거예요.
- 쌍곡선의 정의: 쌍곡선 위의 한 점에서 두 초점까지의 거리의 차는 주축의 길이($2a$)로 일정합니다. ($|PF' - PF| = 2a$)
- 쌍곡선의 점근선: 쌍곡선 $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$의 점근선의 방정식은 $y = \pm \frac{b}{a}x$입니다.
- 도형의 닮음과 코사인 법칙: 삼각형의 닮음비를 통해 선분의 길이 비를 구하고, 코사인 법칙을 이용해 실제 길이를 계산합니다.
단계별 풀이
1단계: 쌍곡선의 식을 세우고 점근선과 직선 $AF$의 관계 이해하기
먼저 구하고자 하는 쌍곡선 $C$의 방정식을 다음과 같이 놓읍시다.
$$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 \quad (a>0, b>0)$$
이 쌍곡선의 두 초점은 $F(c, 0)$, $F'(-c, 0)$ 이고, $c^2 = a^2 + b^2$이 성립합니다. 우리가 구해야 하는 주축의 길이는 $2a$입니다.
점 $A$는 $y$축 위의 점이므로 $A(0, h)$ ($h>0$)라 할 수 있습니다.
직선 $AF$의 기울기는 두 점 $A(0, h)$와 $F(c, 0)$을 지나므로 $-\frac{h}{c}$입니다.
문제에서 직선 $AF$가 쌍곡선의 한 점근선과 평행하다고 했습니다. 쌍곡선의 점근선 중 기울기가 음수인 것은 $y = -\frac{b}{a}x$이므로, 두 직선의 기울기가 같아야 합니다.
$$-\frac{h}{c} = -\frac{b}{a} \implies h = \frac{bc}{a}$$
이제 선분 $AF$의 길이를 $a, b, c$로 나타내 봅시다. 피타고라스 정리에 의해,
$$AF = \sqrt{c^2 + h^2} = \sqrt{c^2 + \frac{b^2c^2}{a^2}} = c\sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}}$$
이때 $1 + \frac{b^2}{a^2} = \frac{a^2+b^2}{a^2} = \frac{c^2}{a^2}$ 이므로,
$$AF = c \cdot \frac{c}{a} = \frac{c^2}{a}$$
가 됩니다.
2단계: 삼각형의 닮음을 이용하여 $c$와 $a$의 비율 구하기
점 $A$가 $y$축 위에 있으므로, $y$축을 기준으로 좌우 대칭입니다. 따라서 $AF = AF'$인 이등변삼각형 $\triangle AFF'$이 만들어집니다.
또한, 쌍곡선의 대칭성에 의해 점 $P$와 $P'$도 $y$축에 대해 대칭이므로 선분 $PP'$은 $x$축(선분 $FF'$)과 평행합니다.
따라서 $\triangle APP'$과 $\triangle AFF'$은 서로 닮음입니다!
닮음비에 의해 다음이 성립합니다.
$$\frac{AP}{PP'} = \frac{AF}{FF'}$$
문제에서 $\overline{\text{AP}} : \overline{\text{PP}'} = 5:6$이라고 주어졌고, 초점 사이의 거리 $FF' = 2c$이므로 대입해 보면,
$$\frac{5}{6} = \frac{AF}{2c} \implies AF = \frac{5}{3}c$$
1단계에서 구한 $AF = \frac{c^2}{a}$와 비교해 볼까요?
$$\frac{c^2}{a} = \frac{5}{3}c \implies \frac{c}{a} = \frac{5}{3}$$
아하! $c$와 $a$의 비율을 알아냈습니다. 즉, $a = \frac{3}{5}c$입니다.
3단계: 코사인 법칙을 쓰기 위한 준비 ($\cos\theta$ 구하기)
$\triangle AFF'$에서 $\angle AFF' = \theta$라고 합시다.
$y$축은 선분 $FF'$을 수직이등분하므로, 직각삼각형 $\triangle AOF$ (여기서 $O$는 원점)를 생각할 수 있습니다.
이 직각삼각형에서 코사인 값은 다음과 같습니다.
$$\cos\theta = \frac{OF}{AF} = \frac{c}{\frac{5}{3}c} = \frac{3}{5}$$
4단계: 쌍곡선의 정의와 코사인 법칙으로 $c$ 구하기
이제 점 $P$에 주목해 봅시다. 점 $P$는 쌍곡선 위의 점이므로 쌍곡선의 정의에 의해 다음이 성립합니다.
$$PF' - PF = 2a$$
문제에서 $PF = 1$이라고 주었으므로,
$$PF' = 2a + 1$$
2단계에서 구한 $a = \frac{3}{5}c$를 대입하면,
$$PF' = \frac{6}{5}c + 1$$
이제 $\triangle PFF'$에서 세 변의 길이는 다음과 같습니다.
- $PF = 1$
- $FF' = 2c$
- $PF' = \frac{6}{5}c + 1$
- $\cos(\angle PFF') = \cos\theta = \frac{3}{5}$
이 삼각형에 코사인 법칙을 적용해 봅시다!
$$PF'^2 = PF^2 + FF'^2 - 2 \cdot PF \cdot FF' \cdot \cos\theta$$
각 값을 대입하면,
$$\left(\frac{6}{5}c + 1\right)^2 = 1^2 + (2c)^2 - 2 \cdot 1 \cdot 2c \cdot \frac{3}{5}$$
$$\frac{36}{25}c^2 + \frac{12}{5}c + 1 = 1 + 4c^2 - \frac{12}{5}c$$
양변에서 $1$을 없애고 식을 정리해 봅시다.
$$4c^2 - \frac{36}{25}c^2 - \frac{24}{5}c = 0$$
$$\frac{64}{25}c^2 - \frac{24}{5}c = 0$$
$c > 0$이므로 양변을 $c$로 나누면,
$$\frac{64}{25}c = \frac{24}{5} \implies c = \frac{24}{5} \times \frac{25}{64} = \frac{15}{8}$$
5단계: 주축의 길이 구하기
우리가 구하고자 하는 쌍곡선의 주축의 길이는 $2a$입니다.
$$2a = 2 \times \left(\frac{3}{5}c\right) = \frac{6}{5}c$$
여기에 구한 $c = \frac{15}{8}$를 대입하면,
$$2a = \frac{6}{5} \times \frac{15}{8} = \frac{9}{4}$$
답
정답은 ② $\frac{9}{4}$ 입니다.
확인해보기
공부를 마친 후 스스로 점검해 보세요!
> 질문: 쌍곡선 위의 한 점 $P$에서 두 초점 $F, F'$까지의 거리의 차인 $|PF' - PF|$는 항상 일정합니다. 이 일정한 값은 쌍곡선의 어떤 기하학적 양(길이)과 같을까요?