어떤 문제인가
이 문제는 평면 위의 등변사다리꼴 $ABCD$와 두 점 $P, Q$가 주어졌을 때, 벡터의 연산과 기하학적 성질을 이용하여 두 벡터 $\overrightarrow{CP}$와 $\overrightarrow{DQ}$의 내적을 구하는 문제입니다.
이 문제를 해결하기 위해 사용할 핵심 개념은 다음과 같습니다:
- 벡터의 성분 표시와 좌표계 활용: 복잡한 기하학적 상황을 좌표평면 위에 나타내면 계산이 훨씬 직관적이고 쉬워집니다.
- 벡터의 연산과 자취: 주어진 벡터 방정식을 정리하여 점 $P$와 점 $Q$가 각각 어디에 위치하는지 찾아냅니다.
- 삼각형의 기하학적 성질: 각도 조건을 분석하여 삼각형의 닮음이나 이등변삼각형의 성질을 찾아냅니다.
단계별 풀이
1단계: 사다리꼴 $ABCD$를 좌표평면 위에 나타내기
도형의 성질을 쉽게 이용하기 위해, 점 $B$를 원점 $(0,0)$으로 하는 좌표평면을 설정해 봅시다.
- $\angle ABC = \frac{\pi}{3} (60^\circ)$이고 $\overline{AB} = 2$이므로, 점 $A$의 좌표는 다음과 같습니다.
$$A = (2\cos 60^\circ, 2\sin 60^\circ) = (1, \sqrt{3})$$
- 점 $C$는 $x$축 위에 있고, 등변사다리꼴의 성질을 이용해 아랫변 $BC$의 길이를 구해보면 $BC = 1 + 2 + 1 = 4$가 됩니다. 따라서 점 $C$의 좌표는 다음과 같습니다.
$$C = (4, 0)$$
- 점 $D$는 점 $A$에서 $x$축 방향으로 $2$만큼 평행이동한 점이므로 다음과 같습니다.
$$D = (3, \sqrt{3})$$
2단계: 조건 (가)를 이용하여 점 $P$의 좌표 구하기
조건 (가) 식을 정리하여 점 $P$의 위치를 찾아봅시다.
$$\overrightarrow{AC} = 2(\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{BP})$$
양변을 $2$로 나누고 $\overrightarrow{BP}$에 대해 정리하면 다음과 같습니다.
$$\overrightarrow{BP} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AD}$$
이제 우리가 설정한 좌표를 대입해 봅시다.
- $\overrightarrow{AC} = C - A = (3, -\sqrt{3})$
- $\overrightarrow{AD} = D - A = (2, 0)$
이를 식에 대입하면,
$$\overrightarrow{BP} = \frac{1}{2}(3, -\sqrt{3}) - (2, 0) = \left(-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$$
점 $B$가 원점이므로, 점 $P$의 좌표는 바로 $\left(-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$가 됩니다.
*(참고: $\overrightarrow{AB} = (-1, -\sqrt{3})$이므로, $\overrightarrow{BP} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$가 성립하여 점 $P$는 직선 $AB$ 위의 점입니다.)*
3단계: 조건 (나)를 이용하여 점 $Q$의 자취 구하기
점 $Q$의 좌표를 $(x, y)$라고 합시다. 조건 (나)는 다음과 같습니다.
$$\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{PQ} = 6$$
각 벡터를 성분으로 나타내면,
- $\overrightarrow{AC} = (3, -\sqrt{3})$
- $\overrightarrow{PQ} = Q - P = \left(x + \frac{1}{2}, y + \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$
두 벡터의 내적을 계산해 봅시다.
$$\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{PQ} = 3\left(x + \frac{1}{2}\right) - \sqrt{3}\left(y + \frac{\sqrt{3}}{2}\right) = 6$$
$$3x + \frac{3}{2} - \sqrt{3}y - \frac{3}{2} = 6$$
$$3x - \sqrt{3}y = 6 \implies y = \sqrt{3}(x - 2)$$
따라서 점 $Q$는 기울기가 $\sqrt{3}$이고 점 $(2,0)$을 지나는 직선 위에 있습니다. 이 직선은 직선 $AB$(기울기 $\sqrt{3}$)와 평행합니다.
4단계: 조건 (다)를 이용하여 점 $Q$의 정확한 위치 결정하기
조건 (다)는 다음과 같습니다.
$$2 \times \angle BQA = \angle PBQ < \frac{\pi}{2}$$
이 각도 조건을 기하학적으로 해석해 봅시다.
- 세 점 $P, B, A$는 직선 $y = \sqrt{3}x$ 위에 이 순서대로 일직선상에 있습니다. 따라서 $\angle PBQ$와 $\angle ABQ$는 평각($180^\circ$)을 이룹니다.
$$\angle PBQ + \angle ABQ = \pi$$
- $\angle BQA = \theta$라고 하면, 조건에 의해 $\angle PBQ = 2\theta$입니다.
- 따라서 $\angle ABQ = \pi - 2\theta$가 됩니다.
- 삼각형 $ABQ$의 세 내각의 합은 $\pi$이므로,
$$\angle QAB = \pi - (\angle BQA + \angle ABQ) = \pi - (\theta + \pi - 2\theta) = \theta$$
- 즉, $\angle BQA = \angle QAB = \theta$이므로 **삼각형 $ABQ$는 $\overline{BQ} = \overline{AB}$인 이등변삼각형**입니다!
$\overline{AB} = 2$이므로 $\overline{BQ} = 2$이어야 합니다. 점 $Q(x, y)$는 원점 $B$로부터의 거리가 $2$이고, 3단계에서 구한 직선 $y = \sqrt{3}(x-2)$ 위에 있어야 하므로 다음 연립방정식을 풉니다.
$$x^2 + y^2 = 4$$
$$y = \sqrt{3}(x-2)$$
두 번째 식을 첫 번째 식에 대입하면,
$$x^2 + 3(x-2)^2 = 4$$
$$4x^2 - 12x + 8 = 0 \implies x^2 - 3x + 2 = 0$$
$$(x-1)(x-2) = 0$$
따라서 $x = 1$ 또는 $x = 2$입니다.
- **$x = 2$인 경우**: $y = 0$이 되어 $Q = (2,0)$입니다. 이 경우 삼각형 $ABQ$는 정삼각형이 되어 $\theta = 60^\circ$가 됩니다. 하지만 조건에서 $\angle PBQ = 2\theta < 90^\circ \implies \theta < 45^\circ$여야 하므로 모순입니다.
- **$x = 1$인 경우**: $y = -\sqrt{3}$이 되어 $Q = (1, -\sqrt{3})$입니다. 이 경우 $\theta = 30^\circ$가 되어 조건을 만족합니다.
따라서 점 $Q$의 좌표는 $(1, -\sqrt{3})$입니다.
5단계: 최종 값 구하기
이제 구하고자 하는 $\overrightarrow{CP} \cdot \overrightarrow{DQ}$의 값을 계산해 봅시다.
- $C = (4,0)$, $P = \left(-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$ 이므로,
$$\overrightarrow{CP} = P - C = \left(-\frac{9}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$$
- $D = (3, \sqrt{3})$, $Q = (1, -\sqrt{3})$ 이므로,
$$\overrightarrow{DQ} = Q - D = (-2, -2\sqrt{3})$$
두 벡터의 내적을 구하면,
$$\overrightarrow{CP} \cdot \overrightarrow{DQ} = \left(-\frac{9}{2}\right) \times (-2) + \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \times (-2\sqrt{3})$$
$$= 9 + 3 = 12$$
답
$$12$$
확인해보기
2단계에서 구한 식 $\overrightarrow{BP} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$를 보고, 점 $P$가 선분 $AB$를 어떤 비율로 외분하는 점인지 선분의 길이 비($\overline{AP} : \overline{BP}$)를 통해 스스로 설명해 보세요.