어떤 문제인가
이 문제는 공간도형에서 정사면체의 기하학적 성질, 구와 직선의 위치 관계, 그리고 이면각과 정사영을 융합한 문제입니다.
문제를 해결하기 위해 우리는 다음 3가지 핵심 개념을 사용할 것입니다:
- 정사면체의 대칭성과 길이 관계: 정사면체의 꼭짓점에서 밑면에 내린 수선의 발은 밑면(정삼각형)의 외심(무게중심)과 일치합니다.
- 구의 성질과 닮음: 구의 중심에서 구 위의 점들을 연결한 반지름의 성질을 이용해 선분 위의 점 $P, Q, R$의 위치를 찾고, 닮음비를 이용해 삼각형 $PQR$의 넓이를 구합니다.
- 이면각과 정사영: 두 평면이 이루는 각을 구해 정사영의 넓이 공식 $S' = S \cos\theta$를 적용합니다.
단계별 풀이
1단계: 정사면체 $ABCD$의 크기 구하기
구 $S$의 중심을 $O$라 합시다. 문제에서 $O$는 정삼각형 $BCD$의 외심이라고 했습니다. 정사면체의 꼭짓점 $A$에서 밑면 $BCD$에 내린 수선의 발은 밑면의 외심과 일치하므로, 선분 $AO$는 밑면 $BCD$와 수직입니다. 즉, $AO \perp (\text{평면 } BCD)$입니다.
구 $S$의 반지름의 길이가 $6$이고 점 $B$를 지나므로, 구의 중심 $O$에서 $B$까지의 거리는 반지름과 같습니다.
$$OB = 6$$
정삼각형 $BCD$의 한 변의 길이를 $a$라고 하면, 외심 $O$에서 꼭짓점 $B$까지의 거리는 다음과 같습니다.
$$OB = \frac{a}{\sqrt{3}} = 6 \implies a = 6\sqrt{3}$$
이제 직각삼각형 $AOB$에서 피타고라스 정리를 사용하여 정사면체의 높이 $AO$를 구합니다. ($AB = a = 6\sqrt{3}$입니다.)
$$AO = \sqrt{AB^2 - OB^2} = \sqrt{(6\sqrt{3})^2 - 6^2} = \sqrt{108 - 36} = \sqrt{72} = 6\sqrt{2}$$
2단계: 점 $P, Q, R$의 위치와 삼각형 $PQR$의 넓이 구하기
선분 $AB$가 구 $S$와 만나는 점 중 $B$가 아닌 점이 $P$입니다. 점 $P$의 위치를 알아내기 위해 평면 $AOB$를 그려서 생각해보겠습니다.
직각삼각형 $AOB$에서 $\cos(\angle ABO)$를 구하면 다음과 같습니다.
$$\cos(\angle ABO) = \frac{OB}{AB} = \frac{6}{6\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$$
구 $S$의 중심이 $O$이고 점 $B, P$가 구 위의 점이므로, 삼각형 $OBP$는 $OB = OP = 6$인 이등변삼각형입니다.
점 $O$에서 선분 $BP$에 내린 수선의 발을 $M$이라 하면, $M$은 선분 $BP$의 중점입니다.
직각삼각형 $OMB$에서,
$$BM = OB \cos(\angle OBM) = OB \cos(\angle ABO) = 6 \times \frac{1}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3}$$
따라서 선분 $BP$의 길이는 $BM$의 2배입니다.
$$BP = 2 \times BM = 4\sqrt{3}$$
선분 $AP$의 길이는 전체 모서리 $AB$에서 $BP$를 뺀 것입니다.
$$AP = AB - BP = 6\sqrt{3} - 4\sqrt{3} = 2\sqrt{3}$$
즉, 점 $P$는 선분 $AB$를 $1:2$로 내분하는 점입니다. 대칭성에 의해 점 $Q$와 $R$ 역시 각각 선분 $AC$와 $AD$를 $1:2$로 내분하는 점이 됩니다.
따라서 삼각형 $PQR$은 밑면 $BCD$와 평행하며, 닮음비가 $1:3$인 정삼각형입니다.
- 밑면 $\triangle BCD$의 넓이:
$$S_{BCD} = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} (6\sqrt{3})^2 = 27\sqrt{3}$$
- $\triangle PQR$의 넓이:
$$S_{PQR} = \left(\frac{1}{3}\right)^2 S_{BCD} = \frac{1}{9} \times 27\sqrt{3} = 3\sqrt{3}$$
3단계: 두 평면이 이루는 각 $\theta$ 구하기
우리가 구하고자 하는 것은 삼각형 $PQR$의 평면 $\alpha$ 위로의 정사영입니다. 평면 $PQR$과 접평면 $\alpha$가 이루는 예각을 $\theta$라고 합시다.
두 평면이 이루는 각은 두 평면의 법선벡터(수직인 벡터)가 이루는 각과 같습니다.
- 평면 $PQR$은 밑면 $BCD$와 평행하므로, 이 평면에 수직인 직선은 $AO$입니다. 즉, 평면 $PQR$의 법선벡터 방향은 $\vec{OA}$입니다.
- 평면 $\alpha$는 점 $P$에서 구 $S$에 접하는 평면이므로, 이 평면에 수직인 직선은 구의 반지름 $OP$입니다. 즉, 평면 $\alpha$의 법선벡터 방향은 $\vec{OP}$입니다.
따라서 두 평면이 이루는 각 $\theta$는 두 선분 $OA$와 $OP$가 이루는 각, 즉 $\angle AOP$와 같습니다.
삼각형 $AOP$에서 세 변의 길이를 모두 알고 있으므로, 코사인 법칙을 사용하여 $\cos\theta$를 구합니다.
- $AO = 6\sqrt{2}$
- $OP = 6$ (구의 반지름)
- $AP = 2\sqrt{3}$
$$\cos\theta = \cos(\angle AOP) = \frac{AO^2 + OP^2 - AP^2}{2 \cdot AO \cdot OP}$$
$$\cos\theta = \frac{(6\sqrt{2})^2 + 6^2 - (2\sqrt{3})^2}{2 \times 6\sqrt{2} \times 6} = \frac{72 + 36 - 12}{72\sqrt{2}} = \frac{96}{72\sqrt{2}} = \frac{4}{3\sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$$
4단계: 정사영의 넓이 $k$와 $k^2$ 구하기
정사영의 넓이 공식에 의해, 삼각형 $PQR$의 평면 $\alpha$ 위로의 정사영의 넓이 $k$는 다음과 같습니다.
$$k = S_{PQR} \cos\theta = 3\sqrt{3} \times \frac{2\sqrt{2}}{3} = 2\sqrt{6}$$
우리가 구하고자 하는 최종 값은 $k^2$입니다.
$$k^2 = (2\sqrt{6})^2 = 24$$
답
$$24$$
확인해보기
만약 구 $S$의 반지름의 길이가 $6$에서 $12$로 $2$배가 된다면, 정사영의 넓이 $k$는 처음의 몇 배가 될까요? (길이의 비와 넓이의 비의 관계를 생각하며 스스로 답해 보세요.)