어떤 문제인가
이 문제는 다항식의 거듭제곱을 전개했을 때, 특정 항의 계수(숫자 부분)를 찾는 문제입니다.
이 문제를 풀기 위해 머릿속에 꼭 넣어야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다.
- 이항정리 (Binomial Theorem): 두 항의 합의 거듭제곱 $(a+b)^n$을 전개하는 공식입니다.
- 이항정리의 일반항: 전개식에서 임의의 한 항의 모양을 나타내는 공식으로, $_nC_r a^{n-r} b^r$ (단, $r = 0, 1, 2, \dots, n$) 입니다.
이 두 가지 개념을 활용해 $x^9$이 나오는 순간을 콕 집어내어 계산해 봅시다!
단계별 풀이
1단계: 이항정리의 일반항 세우기
주어진 다항식 $(x^3+3)^5$에서 두 항을 각각 $a = x^3$, $b = 3$이라 하고, 거듭제곱 횟수를 $n = 5$라고 생각합시다.
이항정리의 일반항 공식인 $_nC_r a^{n-r} b^r$에 대입하면 다음과 같은 식을 만들 수 있습니다.
$$\text{일반항} = _5C_r (x^3)^{5-r} \cdot 3^r$$
(여기서 $r$은 $0$부터 $5$까지의 정수입니다.)
2단계: $x$가 있는 부분과 숫자 부분을 분리하여 정리하기
위에서 구한 일반항을 계산하기 좋게 숫자 부분(계수)과 $x$가 있는 부분으로 나누어 정리해 봅시다. 지수법칙 $((x^a)^b = x^{ab})$을 사용합니다.
$$(x^3)^{5-r} = x^{3(5-r)} = x^{15-3r}$$
이것을 원래 일반항에 다시 넣어 정리하면 다음과 같습니다.
$$\text{일반항} = \left( _5C_r \cdot 3^r \right) \cdot x^{15-3r}$$
- 앞의 $\left( _5C_r \cdot 3^r \right)$ 부분은 계수(숫자)가 되고,
- 뒤의 $x^{15-3r}$ 부분은 문자가 됩니다.
3단계: $x^9$이 되기 위한 $r$의 값 구하기
우리가 찾고 싶은 것은 $x^9$의 계수입니다. 따라서 $x$의 지수인 $15-3r$이 $9$가 되어야 합니다.
방정식을 세워 $r$을 구해봅시다.
$$15 - 3r = 9$$
$$3r = 6$$
$$r = 2$$
$r=2$일 때 우리가 원하는 $x^9$ 항이 나온다는 것을 알아냈습니다!
4단계: $r=2$를 대입하여 계수 계산하기
이제 일반항의 숫자 부분인 $\left( _5C_r \cdot 3^r \right)$에 $r=2$를 대입하여 최종 계수를 구합니다.
$$\text{계수} = _5C_2 \cdot 3^2$$
조합(Combination) 공식 $_nC_r = \frac{n!}{r!(n-r)!}$을 이용하여 $_5C_2$를 계산하면,
$$_5C_2 = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$$
그리고 $3^2 = 9$이므로, 이 둘을 곱해줍니다.
$$\text{계수} = 10 \times 9 = 90$$
따라서 $x^9$의 계수는 $90$입니다.
답
**③ $90$**
확인해보기
오늘 배운 방법을 잘 이해했는지 스스로 확인해 볼까요?
> 질문: 같은 식 $(x^3+3)^5$의 전개식에서 $x^{12}$의 계수는 얼마일까요?
> (힌트: $x$의 지수가 $12$가 되도록 하는 $r$의 값을 먼저 찾아보세요!)