어떤 문제인가
이 문제는 주어진 숫자 카드 $\{1, 2, 3, 4, 5\}$를 중복하여 사용하여 네 자리 자연수를 만들 때, 특정 조건들을 만족하는 경우의 수를 구하는 문제입니다.
우리가 주목해야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다:
- 자릿수의 조건 분석: '4000 이상'이라는 조건과 '홀수'라는 조건이 각각 어느 자릿수에 영향을 주는지 파악합니다.
- 중복순열과 곱의 법칙: 각 자릿수에 올 수 있는 숫자의 개수를 구한 뒤, 이 사건들이 동시에(연이어) 일어나므로 모두 곱해줍니다.
단계별 풀이
1단계: 네 자리 수의 자릿수 구조 잡기
네 자리 자연수를 다음과 같이 빈칸으로 나타내 봅시다.
$$\square \quad \square \quad \square \quad \square$$
왼쪽부터 차례대로 천의 자리, 백의 자리, 십의 자리, 일의 자리입니다. 각 자릿수에 들어갈 수 있는 숫자의 가짓수를 구해서 모두 곱할 것입니다.
2단계: 천의 자리 조건 해결하기 ($4000$ 이상)
만드는 네 자리 수가 $4000$ 이상이 되려면, 천의 자리에는 어떤 숫자가 와야 할까요?
사용할 수 있는 숫자 $\{1, 2, 3, 4, 5\}$ 중에서 $4$ 이상인 숫자가 와야 합니다.
- 천의 자리에 올 수 있는 숫자: $4, 5$ (총 $2$가지)
3단계: 일의 자리 조건 해결하기 (홀수)
만드는 수가 홀수가 되려면, 일의 자리의 숫자가 홀수여야 합니다.
사용할 수 있는 숫자 $\{1, 2, 3, 4, 5\}$ 중에서 홀수를 찾아봅시다.
- 일의 자리에 올 수 있는 숫자: $1, 3, 5$ (총 $3$가지)
4단계: 백의 자리와 십의 자리 결정하기 (중복 허용)
문제에서 "중복을 허락하여"라고 했습니다. 즉, 앞에서 사용한 숫자를 또 사용해도 괜찮습니다.
따라서 백의 자리와 십의 자리에는 아무런 제약이 없으므로, 사용할 수 있는 5개의 숫자 모두가 올 수 있습니다.
- 백의 자리에 올 수 있는 숫자: $1, 2, 3, 4, 5$ (총 $5$가지)
- 십의 자리에 올 수 있는 숫자: $1, 2, 3, 4, 5$ (총 $5$가지)
5단계: 곱의 법칙으로 전체 경우의 수 계산하기
각 자릿수를 결정하는 것은 연속적으로 일어나는 사건이므로, 곱의 법칙을 적용합니다.
$$\text{(천의 자리)} \times \text{(백의 자리)} \times \text{(십의 자리)} \times \text{(일의 자리)}$$
$$2 \times 5 \times 5 \times 3$$
이를 계산하면 다음과 같습니다.
$$2 \times 5 \times 5 \times 3 = 10 \times 15 = 150$$
따라서 조건에 맞는 네 자리 자연수의 개수는 $150$개입니다.
답
**② $150$**
확인해보기
만약 조건이 바뀌어서, $4000$ 이상인 '짝수'의 개수를 구하라고 한다면 식을 어떻게 세워야 할까요? 오늘 배운 원리를 적용해 스스로 식을 세우고 계산해 보세요!