어떤 문제인가
이 문제는 여러 개의 마스크 중에서 몇 개를 동시에 꺼낼 때, 특정 조건("적어도 한 개가 흰색")을 만족할 확률을 구하는 문제입니다.
이 문제를 해결하기 위해 우리는 다음 두 가지 핵심 개념을 사용할 거예요.
- **조합 ($_{n}\mathrm{C}_{r}$)**: 순서와 상관없이 $n$개 중에서 $r$개를 선택하는 경우의 수입니다.
- 여사건의 확률: '적어도 ~일 확률'을 구할 때는, 반대되는 사건(여사건)의 확률을 구해서 전체 확률인 $1$에서 빼는 것이 훨씬 빠르고 편리합니다.
단계별 풀이
1단계: 전체 경우의 수 구하기
상자 안에는 흰색 마스크 5개와 검은색 마스크 9개가 들어 있으므로, **전체 마스크의 개수는 $5 + 9 = 14$개**입니다.
이 14개의 마스크 중에서 임의로 3개를 동시에 꺼내는 전체 경우의 수(분모에 들어갈 값)를 조합을 이용해 구해봅시다.
$$_{14}\mathrm{C}_{3} = \frac{14 \times 13 \times 12}{3 \times 2 \times 1} = 14 \times 13 \times 2 = 364$$
전체 경우의 수는 **$364$가지**입니다.
2단계: '적어도 한 개가 흰색'의 반대 사건(여사건) 생각하기
'적어도 한 개가 흰색 마스크일 확률'을 직접 구하려면 다음과 같이 세 가지 경우를 모두 구해서 더해야 합니다.
- 흰색 1개, 검은색 2개인 경우
- 흰색 2개, 검은색 1개인 경우
- 흰색 3개인 경우
이것보다 훨씬 쉬운 방법은 반대 상황을 생각하는 것입니다. '적어도 한 개가 흰색'의 반대는 '꺼낸 3개의 마스크가 모두 검은색'인 경우입니다.
3단계: 모두 검은색 마스크만 꺼내는 경우의 수 구하기
검은색 마스크 9개 중에서만 3개를 꺼내는 경우의 수를 구해봅시다.
$$_{9}\mathrm{C}_{3} = \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} = 3 \times 4 \times 7 = 84$$
모두 검은색 마스크만 나오는 경우의 수는 **$84$가지**입니다.
4단계: 모두 검은색 마스크일 확률 구하기
이제 전체 경우의 수($364$) 중에서 모두 검은색을 뽑을 확률을 구하고, 약분해 봅시다.
$$\text{모두 검은색일 확률} = \frac{84}{364}$$
분모와 분자를 각각 $28$로 나누어 약분하면 다음과 같습니다.
(먼저 $4$로 약분하면 $\frac{21}{91}$이 되고, 이를 다시 $7$로 약분하면 $\frac{3}{13}$이 됩니다.)
$$\frac{84}{364} = \frac{3}{13}$$
5단계: 여사건의 확률을 이용해 최종 답 구하기
우리가 구하고자 하는 확률은 전체 확률 $1$에서 '모두 검은색일 확률'을 뺀 것입니다.
$$\text{적어도 한 개가 흰색일 확률} = 1 - \frac{3}{13} = \frac{10}{13}$$
답
**⑤ $\frac{10}{13}$**
확인해보기
오늘 배운 여사건의 개념을 잘 이해했는지 스스로 점검해 보세요!
> [질문] 동전 3개를 동시에 던질 때, "적어도 한 개는 앞면이 나올 확률"을 여사건을 이용해서 구하려고 합니다. 이때 우리가 구해서 전체 확률 $1$에서 빼야 하는 반대 사건(여사건)은 무엇일까요?