어떤 문제인가
이 문제는 두 사건 $A$와 $B$가 동시에 일어날 수 있는 상황에서, 두 사건 중 적어도 하나가 일어날 확률인 합사건의 확률 $\mathrm{P}(A \cup B)$를 구하는 문제입니다.
문제를 해결하기 위해 우리는 다음 세 가지 핵심 개념을 사용할 거예요.
- 확률의 덧셈정리: 두 사건 $A, B$에 대하여 $\mathrm{P}(A \cup B) = \mathrm{P}(A) + \mathrm{P}(B) - \mathrm{P}(A \cap B)$ 입니다.
- **조합(Combination, $_n\mathrm{C}_r$)**: 서로 다른 $n$개 중에서 순서를 생각하지 않고 $r$개를 택하는 경우의 수입니다.
- 사건의 조건 분석: '곱이 8이 되는 경우'와 같이 문제에 제시된 조건을 만족하는 공의 조합을 논리적으로 찾아내는 능력입니다.
단계별 풀이
1단계: 전체 경우의 수 구하기
먼저 주머니에 있는 공의 총개수와 우리가 꺼낼 공의 개수를 확인해 봅시다.
- 흰 공: 2개 (1이 적힌 공 1개, 2가 적힌 공 1개)
- 검은 공: 4개 (1이 적힌 공 1개, 2가 적힌 공 3개)
- 전체 공의 개수: $2 + 4 = 6$개
이 6개의 공 중에서 임의로 3개의 공을 동시에 꺼내므로, 일어날 수 있는 모든 경우의 수(표본공간의 원소의 개수)는 조합을 이용하여 다음과 같이 구합니다.
$$n(S) = \binom{6}{3} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20$$
2단계: 사건 $A$의 확률 $\mathrm{P}(A)$ 구하기
사건 $A$는 "꺼낸 3개의 공 중에서 흰 공이 1개이고 검은 공이 2개인 사건"입니다.
- 흰 공 2개 중에서 1개를 택하는 경우의 수: $\binom{2}{1} = 2$
- 검은 공 4개 중에서 2개를 택하는 경우의 수: $\binom{4}{2} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$
따라서 사건 $A$가 일어나는 경우의 수 $n(A)$와 그 확률 $\mathrm{P}(A)$는 다음과 같습니다.
$$n(A) = \binom{2}{1} \times \binom{4}{2} = 2 \times 6 = 12$$
$$\mathrm{P}(A) = \frac{12}{20}$$
3단계: 사건 $B$의 확률 $\mathrm{P}(B)$ 구하기
사건 $B$는 "꺼낸 3개의 공에 적혀 있는 수를 모두 곱한 값이 8인 사건"입니다.
공에 적힌 숫자는 오직 '1'과 '2'뿐입니다. 세 수를 곱해서 8이 되려면, 세 수 모두 '2'여야만 합니다. ($2 \times 2 \times 2 = 8$) 만약 '1'이 하나라도 들어가면 곱은 8보다 작아지니까요.
즉, 사건 $B$는 "숫자 2가 적힌 공만 3개 꺼내는 사건"과 같습니다.
주머니에서 숫자 '2'가 적힌 공이 총 몇 개인지 세어볼까요?
- 흰 공 중 '2'가 적힌 공: 1개
- 검은 공 중 '2'가 적힌 공: 3개
- 숫자 '2'가 적힌 총 공의 개수: $1 + 3 = 4$개
따라서 이 4개의 공 중에서 3개를 꺼내면 되므로, 사건 $B$가 일어나는 경우의 수 $n(B)$와 그 확률 $\mathrm{P}(B)$는 다음과 같습니다.
$$n(B) = \binom{4}{3} = 4$$
$$\mathrm{P}(B) = \frac{4}{20}$$
4단계: 곱사건 $A \cap B$의 확률 $\mathrm{P}(A \cap B)$ 구하기
이제 두 사건이 동시에 일어나는 경우를 구해야 합니다. 즉, "흰 공 1개, 검은 공 2개를 꺼내면서, 동시에 세 공의 숫자의 곱이 8인(모두 2가 적힌) 사건"입니다.
이 조건들을 조합하면 다음과 같습니다.
- 꺼낸 흰 공 1개는 반드시 숫자 '2'가 적힌 흰 공이어야 합니다. (이 공은 주머니에 1개 있습니다.)
- 꺼낸 검은 공 2개는 반드시 숫자 '2'가 적힌 검은 공이어야 합니다. (이 공은 주머니에 3개 있습니다.)
각각의 경우의 수를 구해 곱해봅시다.
- '2'가 적힌 흰 공 1개 중 1개를 선택: $\binom{1}{1} = 1$
- '2'가 적힌 검은 공 3개 중 2개를 선택: $\binom{3}{2} = 3$
따라서 두 사건이 동시에 일어나는 경우의 수 $n(A \cap B)$와 그 확률 $\mathrm{P}(A \cap B)$는 다음과 같습니다.
$$n(A \cap B) = \binom{1}{1} \times \binom{3}{2} = 1 \times 3 = 3$$
$$\mathrm{P}(A \cap B) = \frac{3}{20}$$
5단계: 최종 확률 $\mathrm{P}(A \cup B)$ 계산하기
확률의 덧셈정리를 이용하여 최종 답을 구합니다.
$$\mathrm{P}(A \cup B) = \mathrm{P}(A) + \mathrm{P}(B) - \mathrm{P}(A \cap B)$$
$$\mathrm{P}(A \cup B) = \frac{12}{20} + \frac{4}{20} - \frac{3}{20} = \frac{13}{20}$$
답
답은 **③ $\frac{13}{20}$** 입니다.
확인해보기
공부를 잘 마쳤는지 스스로 확인해 볼까요? 다음 질문에 대해 생각해 보세요.
> 질문: 만약 사건 $B$가 "꺼낸 3개의 공에 적혀 있는 수를 모두 곱한 값이 4인 사건"으로 바뀐다면, 곱해서 4가 되기 위해 우리가 꺼내야 하는 공들의 숫자는 각각 무엇이어야 할까요? (힌트: 꺼내는 공은 총 3개이고, 공에 적힌 숫자는 1과 2뿐입니다.)