어떤 문제인가
이 문제는 표본의 크기와 신뢰도를 바꿀 때, 신뢰구간의 길이가 어떻게 변하는지 이해하고 이를 활용해 조건에 맞는 표본의 크기 $n$을 구하는 문제입니다.
이 문제를 풀기 위해 꼭 알아야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다.
- **모평균 $m$에 대한 신뢰구간**: 표본평균 $\bar{x}$, 표본의 크기 $n$, 모표준편차 $\sigma$가 주어졌을 때의 신뢰구간 공식
- 신뢰구간의 길이: 신뢰구간의 양 끝값의 차이 ($b-a$)
단계별 풀이
1단계: 첫 번째 조건에서 모표준편차 $\sigma$ 구하기
신뢰구간의 길이를 구하는 공식을 먼저 떠올려봅시다.
모평균 $m$에 대한 신뢰도 $95\%$의 신뢰구간은 다음과 같이 구합니다.
$$\bar{x} - 1.96 \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \le m \le \bar{x} + 1.96 \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$
이때 신뢰구간의 오른쪽 끝값에서 왼쪽 끝값을 뺀 것을 '신뢰구간의 길이'라고 합니다.
$$\text{신뢰구간의 길이} = 2 \times 1.96 \times \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$
문제에서 $16$개를 임의추출($n=16$)했을 때의 신뢰구간이 $746.1 \le m \le 755.9$라고 주어졌습니다. 이 신뢰구간의 길이를 직접 계산해 볼까요?
$$\text{신뢰구간의 길이} = 755.9 - 746.1 = 9.8$$
이제 공식에 우리가 아는 값($n=16$, 길이 $= 9.8$)을 대입해서 모표준편차 $\sigma$를 구해봅시다.
$$2 \times 1.96 \times \frac{\sigma}{\sqrt{16}} = 9.8$$
$\sqrt{16} = 4$이므로 식을 정리하면 다음과 같습니다.
$$2 \times 1.96 \times \frac{\sigma}{4} = 9.8$$
$$1.96 \times \frac{\sigma}{2} = 9.8$$
$$0.98 \times \sigma = 9.8$$
$$\sigma = 10$$
이 회사의 샴푸 용량의 모표준편차 $\sigma$는 $10\text{mL}$라는 것을 알아냈습니다!
2단계: 두 번째 조건으로 $b-a$ 식 세우기
이제 새로운 조건인 '신뢰도 $99\%$의 신뢰구간 $a \le m \le b$'를 살펴봅시다.
이때 표본의 크기는 $n$이고, 신뢰도 $99\%$일 때의 상수값은 문제에서 $2.58$로 주어졌습니다.
이 신뢰구간의 길이 $b-a$를 공식으로 나타내면 다음과 같습니다.
$$b-a = 2 \times 2.58 \times \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$
앞에서 구한 $\sigma = 10$을 이 식에 대입해 봅시다.
$$b-a = 2 \times 2.58 \times \frac{10}{\sqrt{n}} = \frac{51.6}{\sqrt{n}}$$
3단계: 부등식을 풀어서 자연수 $n$의 최솟값 구하기
문제에서 $b-a$의 값이 $6$ 이하가 되도록 하라고 했습니다. 식을 세워볼까요?
$$\frac{51.6}{\sqrt{n}} \le 6$$
양변에 $\sqrt{n}$을 곱하고 $6$으로 나누어 정리합니다.
$$\frac{51.6}{6} \le \sqrt{n}$$
$$8.6 \le \sqrt{n}$$
양변을 제곱하여 $n$의 범위를 구합니다.
$$n \ge (8.6)^2$$
$(8.6)^2$을 계산해 봅시다.
$$8.6 \times 8.6 = 73.96$$
따라서 부등식은 다음과 같습니다.
$$n \ge 73.96$$
$n$은 자연수(표본의 개수)이므로, 이 조건을 만족하는 가장 작은 자연수 $n$은 **$74$**가 됩니다.
답
**② $74$**
확인해보기
신뢰구간의 길이 공식은 $2 \times k \times \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$ 입니다.
만약 **신뢰도($k$)를 높이면서 동시에 신뢰구간의 길이도 줄이고 싶다면**, 표본의 크기 $n$은 어떻게 조절해야 할까요? (크게 해야 할까요, 작게 해야 할까요?)