어떤 문제인가
이 문제는 연속확률변수의 확률밀도함수의 성질을 이해하고, 이를 이용해 미지수의 값을 구하는 문제입니다.
문제를 해결하기 위해 머릿속에 꼭 넣어야 할 핵심 개념 3가지는 다음과 같습니다:
- **확률밀도함수의 전체 넓이는 항상 $1$이다.** (전체 확률의 합은 $1$이기 때문입니다.)
- 특정 구간의 확률은 그 구간에서 그래프가 만드는 도형의 넓이와 같다.
- 직선의 방정식과 도형의 닮음을 이용해 원하는 지점의 높이(함숫값)를 표현할 수 있다.
단계별 풀이
1단계: 전체 넓이가 $1$임을 이용하여 $a$와 $c$의 관계식 구하기
확률밀도함수 그래프가 $x$축과 이루는 도형은 밑변의 길이가 $a$이고 높이가 $c$인 삼각형입니다. 이 삼각형의 전체 넓이는 $1$이 되어야 합니다.
$$\text{삼각형의 넓이} = \frac{1}{2} \times \text{밑변} \times \text{높이}$$
$$\frac{1}{2} \times a \times c = 1$$
이 식을 정리하면 첫 번째 관계식을 얻을 수 있습니다.
$$ac = 2 \quad \cdots \text{ (식 1)}$$
2단계: 첫 번째 조건 $\text{P}(X \le b) - \text{P}(X \ge b) = \frac{1}{4}$ 해석하기
확률변수 $X$가 $b$보다 작거나 같을 확률을 $S_1$, $b$보다 크거나 같을 확률을 $S_2$라고 해봅시다.
그래프에서 $S_1$은 $0$부터 $b$까지의 넓이(왼쪽 삼각형)이고, $S_2$는 $b$부터 $a$까지의 넓이(오른쪽 삼각형)입니다.
전체 넓이가 $1$이므로 다음이 성립합니다.
$$S_1 + S_2 = 1$$
문제에서 주어진 조건은 다음과 같습니다.
$$S_1 - S_2 = \frac{1}{4}$$
이 두 식을 연립하여 더해주면:
$$2S_1 = \frac{5}{4} \implies S_1 = \frac{5}{8}$$
즉, $0$부터 $b$까지의 넓이인 $S_1$은 $\frac{5}{8}$입니다. 이 부분은 밑변이 $b$이고 높이가 $c$인 직각삼각형이므로 넓이 공식에 대입하면:
$$\frac{1}{2} \times b \times c = \frac{5}{8}$$
양변에 $2$를 곱하면 두 번째 관계식을 얻을 수 있습니다.
$$bc = \frac{5}{4} \quad \cdots \text{ (식 2)}$$
3단계: 두 번째 조건 $\text{P}(X \le \sqrt{5}) = \frac{1}{2}$ 해석하기
이제 $\sqrt{5}$의 위치가 $b$를 기준으로 왼쪽에 있는지 오른쪽에 있는지 알아내야 합니다.
위의 2단계에서 $b$까지의 넓이인 $\text{P}(X \le b)$가 $\frac{5}{8}$($0.625$)임을 구했습니다.
그런데 문제에서 $\text{P}(X \le \sqrt{5}) = \frac{1}{2}$($0.5$)라고 했습니다.
넓이가 $0.5$가 되는 지점은 넓이가 $0.625$가 되는 지점보다 왼쪽에 있어야 하므로, **$\sqrt{5} < b$** 임을 알 수 있습니다.
따라서 $0$부터 $\sqrt{5}$까지의 넓이는 원점 $(0,0)$과 점 $(b,c)$를 잇는 직선 아래의 영역입니다.
- 이 직선의 방정식은 원점을 지나고 기울기가 $\frac{c}{b}$이므로 $y = \frac{c}{b}x$입니다.
- $x = \sqrt{5}$일 때의 높이(함숫값)는 $y = \frac{c}{b}\sqrt{5}$가 됩니다.
이 구간의 넓이(직각삼각형)가 $\frac{1}{2}$이므로 식을 세워봅시다.
$$\frac{1}{2} \times \sqrt{5} \times \left(\frac{c}{b}\sqrt{5}\right) = \frac{1}{2}$$
식을 정리하면:
$$\frac{5c}{2b} = \frac{1}{2} \implies \frac{5c}{b} = 1 \implies b = 5c \quad \cdots \text{ (식 3)}$$
4단계: 연립방정식을 풀어 $a, b, c$ 구하기
이제 우리가 구한 세 개의 식을 연립하여 미지수를 구합니다.
- (식 2) $bc = \frac{5}{4}$ 에 (식 3) $b = 5c$ 를 대입합니다.
$$(5c) \times c = \frac{5}{4} \implies 5c^2 = \frac{5}{4} \implies c^2 = \frac{1}{4}$$
$c$는 확률밀도함수의 높이이므로 양수여야 합니다. 따라서,
$$c = \frac{1}{2}$$
- 구한 $c$의 값을 (식 3)에 대입하여 $b$를 구합니다.
$$b = 5 \times \frac{1}{2} = \frac{5}{2}$$
*(참고: $b = 2.5$이고 $\sqrt{5} \approx 2.236$이므로, 앞서 가정한 $\sqrt{5} < b$ 조건도 만족합니다!)*
- 구한 $c$의 값을 (식 1) $ac = 2$ 에 대입하여 $a$를 구합니다.
$$a \times \frac{1}{2} = 2 \implies a = 4$$
최종적으로 구하고자 하는 값은 $a+b+c$입니다.
$$a+b+c = 4 + \frac{5}{2} + \frac{1}{2} = 4 + 3 = 7$$
답
④ $7$
확인해보기
만약 문제의 조건 중에서 $\text{P}(X \le \sqrt{5}) = \frac{1}{2}$ 대신에 **$\text{P}(X \le d) = \frac{3}{4}$** 이라는 조건이 주어졌다면, $d$의 위치는 $b$를 기준으로 왼쪽일까요, 아니면 오른쪽일까요? 그 이유를 확률의 넓이와 관련지어 설명해 보세요.