어떤 문제인가
이 문제는 주사위를 던져 카드를 뒤집는 시행을 반복할 때, 특정 조건이 주어졌을 때의 확률을 구하는 조건부확률 문제입니다.
문제를 해결하기 위해 이해해야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다.
- 홀짝의 변화: 카드를 뒤집을 때 전체 합의 홀짝이 어떻게 변하는지 파악하기
- 조건부확률: 'A 사건이 일어났을 때 B 사건이 일어날 확률' 구하기 ($P(B|A) = \frac{n(A \cap B)}{n(A)}$)
- 경우의 수 나누기: 주사위 눈의 홀짝에 따라 조건을 만족하는 경우의 수를 차근차근 나누어 세기
단계별 풀이
1단계: 카드를 뒤집을 때 합의 홀짝성 변화 이해하기
처음에 놓인 카드의 숫자는 $1, 2, 3, 4, 5, 6$입니다. 이 카드들의 처음 합을 $S_0$라고 해봅시다.
$$S_0 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21 \quad (\text{홀수})$$
주사위를 던져 나온 눈을 $x$라고 할 때, $x$번째 카드를 뒤집으면 합은 어떻게 변할까요?
- 만약 앞면($x$)이 보이고 있었다면 뒷면($0$)이 되므로, 합은 $x$만큼 감소합니다. (변화량: $-x$)
- 만약 뒷면($0$)이 보이고 있었다면 앞면($x$)이 되므로, 합은 $x$만큼 증가합니다. (변화량: $+x$)
여기서 중요한 점은, 값을 더하든 빼든 전체 합의 홀짝성에 미치는 영향은 동일하다는 것입니다. 즉, 어떤 수 $x$를 더하거나 빼는 것은 전체 합의 홀짝성 관점에서는 그냥 $x$를 더하는 것과 같습니다. (여기서 $x \equiv -x \pmod 2$는 $x$와 $-x$를 $2$로 나눈 나머지가 같다는 뜻입니다.)
따라서 주사위를 3번 던져 나온 눈을 각각 $x_1, x_2, x_3$라고 할 때, 3번 시행 후 모든 수의 합 $S_3$의 홀짝성은 다음과 같습니다.
$$S_3 \equiv S_0 + x_1 + x_2 + x_3 \pmod 2$$
처음 합 $S_0 = 21$은 홀수이므로, 나중 합 $S_3$가 짝수가 되려면 **$x_1 + x_2 + x_3$는 반드시 홀수**여야 합니다.
$$\text{홀수} + (x_1 + x_2 + x_3) = \text{짝수} \implies x_1 + x_2 + x_3 = \text{홀수}$$
2단계: 세 주사위 눈의 합이 홀수가 되는 경우의 수 구하기 ($n(A)$)
주사위의 눈 $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ 중 홀수는 $\{1, 3, 5\}$로 3개이고, 짝수는 $\{2, 4, 6\}$으로 3개입니다.
세 수의 합 $x_1 + x_2 + x_3$가 홀수가 되는 경우는 다음 두 가지 경우가 있습니다.
- 경우 [1]: 세 수 모두 홀수인 경우 (홀, 홀, 홀)
각각의 주사위 눈이 홀수여야 하므로, 경우의 수는 다음과 같습니다.
$$3 \times 3 \times 3 = 27$$
- 경우 [2]: 한 수는 홀수이고, 나머지 두 수는 짝수인 경우 (홀, 짝, 짝)
* 먼저 세 번의 던짐 중 어느 차례에 홀수가 나올지 결정합니다: $\binom{3}{1} = 3$가지
* 홀수 눈이 나오는 경우의 수: $3$가지
* 나머지 두 번에서 짝수 눈이 나오는 경우의 수: $3 \times 3 = 9$가지
* 따라서 이 경우의 수는 다음과 같습니다.
$$3 \times 3 \times 3 \times 3 = 81$$
따라서 3번 시행 후 합이 짝수가 되는 전체 경우의 수 $n(A)$는 다음과 같습니다.
$$n(A) = 27 + 81 = 108$$
3단계: 합이 짝수이면서 '1'의 눈이 한 번만 나오는 경우의 수 구하기 ($n(A \cap B)$)
이제 위에서 구한 두 가지 경우 중에서 '1'의 눈이 정확히 한 번만 나오는 경우를 찾아봅시다.
- 경우 [1] (홀, 홀, 홀) 중에서 '1'이 한 번만 나오는 경우
* 세 번 중 '1'이 나올 자리를 고릅니다: $\binom{3}{1} = 3$가지
* '1'이 나온 자리는 눈이 $1$로 고정됩니다 (1가지).
* 나머지 두 자리는 '1'을 제외한 홀수 $\{3, 5\}$ 중에서 나와야 합니다: $2 \times 2 = 4$가지
* 경우의 수:
$$3 \times 1 \times 4 = 12$$
- 경우 [2] (홀, 짝, 짝) 중에서 '1'이 한 번만 나오는 경우
* 이 경우는 홀수가 단 한 번만 나오는 구조입니다. 따라서 '1'이 한 번만 나오려면, 그 유일한 홀수가 반드시 '1'이어야 합니다.
* '1'이 나올 자리를 고릅니다: $\binom{3}{1} = 3$가지
* '1'이 나온 자리는 눈이 $1$로 고정됩니다 (1가지).
* 나머지 두 자리는 짝수 $\{2, 4, 6\}$ 중에서 나와야 합니다: $3 \times 3 = 9$가지
* 경우의 수:
$$3 \times 1 \times 9 = 27$$
따라서 조건을 만족하면서 '1'이 한 번만 나오는 경우의 수 $n(A \cap B)$는 다음과 같습니다.
$$n(A \cap B) = 12 + 27 = 39$$
4단계: 조건부확률 계산하기
우리가 구하고자 하는 확률은 합이 짝수일 때(사건 $A$), 1의 눈이 한 번만 나왔을(사건 $B$) 조건부확률 $P(B|A)$입니다.
$$P(B|A) = \frac{n(A \cap B)}{n(A)} = \frac{39}{108}$$
분모와 분자를 $3$으로 약분하여 기약분수로 만듭니다.
$$\frac{39}{108} = \frac{13}{36}$$
따라서 $p = 36$, $q = 13$ 이며, 두 수는 서로소인 자연수입니다.
우리가 구하는 값은 $p+q$이므로,
$$p+q = 36 + 13 = 49$$
답
$$49$$
확인해보기
문제를 잘 이해했는지 스스로 점검해 보세요!
질문: 만약 처음에 카드 6장이 모두 뒷면(0)이 보이도록 놓여 있었다면, 3번 시행 후 모든 수의 합이 짝수가 되기 위해 주사위 3개 눈의 합은 홀수여야 할까요, 아니면 짝수여야 할까요? 그 이유를 설명해 보세요.