어떤 문제인가
이 문제는 수열의 극한값, 그중에서도 $n$이 무한대로 갈 때 **무한대 빼기 무한대 ($\infty - \infty$)** 꼴의 극한을 해결하는 문제입니다.
이 문제를 풀기 위해 우리가 알아야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다:
- **$\infty - \infty$ 꼴의 극한**: 두 무한대의 크기 차이를 비교하기 위해 식을 변형해야 합니다.
- 분자의 유리화: 루트($\sqrt{}$)가 포함된 식의 차를 계산하기 위해, 합차 공식 $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$을 이용하여 분모와 분자에 켤레식을 곱해줍니다.
- **$\frac{\infty}{\infty}$ 꼴의 극한**: 유리화를 거치고 나면 분수 형태가 되는데, 이때 분모의 최고차항으로 분모와 분자를 나누어 극한값을 구합니다.
단계별 풀이
1단계: 식의 형태를 파악하고 유리화하기
주어진 식 $\lim_{n \to \infty} (\sqrt{n^2+9n} - \sqrt{n^2+4n})$에서 $n$이 무한히 커지면 두 루트 안의 식도 모두 무한히 커집니다. 즉, $\infty - \infty$ 꼴이므로 이 상태로는 극한값을 바로 알 수 없습니다.
따라서 분모를 $1$로 생각하고, 분자와 분모에 각각 중간의 부호를 바꾼 켤레식인 $(\sqrt{n^2+9n} + \sqrt{n^2+4n})$을 곱해줍니다.
2단계: 분자 정리하기
분자에 합차 공식 $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$을 적용하여 루트를 벗겨냅니다.
분자를 정리하고 나면 식은 다음과 같이 변합니다.
이제 이 식은 $n \to \infty$일 때 분모와 분자가 모두 무한대로 가는 **$\frac{\infty}{\infty}$ 꼴**이 되었습니다!
3단계: 분모의 최고차항으로 나누어 극한값 구하기
분모에서 가장 큰 차수의 항을 찾아봅시다. 루트 안의 $n^2$은 루트 밖으로 나오면 $n$과 같으므로, 분모의 최고차항은 $1$차항인 $n$입니다.
분모와 분자를 모두 $n$으로 나누어 줍니다. 이때 루트 안으로 $n$이 들어갈 때는 $n^2$이 된다는 점에 주의하세요!
$n$이 무한대로 갈 때, $\frac{9}{n}$와 $\frac{4}{n}$는 모두 $0$으로 수렴합니다. 따라서 극한값은 다음과 같이 계산됩니다.
답
정답은 **⑤ $\frac{5}{2}$** 입니다.
확인해보기
오늘 배운 유리화 방법을 잘 이해했는지 스스로 점검해봅시다!
> [질문]
> 극한값 $\lim_{n \to \infty} (\sqrt{n^2+6n} - n)$을 구하기 위해 분자를 유리화하면, 분자에는 어떤 식(또는 상수)이 남게 될까요? 직접 유리화를 진행해보고 분자에 남는 식을 생각해보세요. (답은 구하지 않아도 좋습니다.)