어떤 문제인가
이 문제는 매개변수 $t$로 표현된 곡선에서 특정 점($t=2$)에서의 접선의 기울기, 즉 $\frac{dy}{dx}$를 구하는 문제입니다.
이 문제를 해결하기 위해 우리가 알아야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다:
- 매개변수 함수의 미분법: $x$와 $y$가 $t$에 대한 함수일 때, $\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}$ (단, $\frac{dx}{dt} \neq 0$) 임을 이용합니다.
- 몫의 미분법: 분수 형태로 표현된 함수 $x(t)$를 미분할 때 사용합니다.
- 합성함수의 미분법 (로그함수의 미분): 로그함수와 다항함수가 합성된 $y(t)$를 미분할 때 사용합니다.
단계별 풀이
1단계: $\frac{dx}{dt}$ 구하기
먼저 $x = \frac{5t}{t^2+1}$를 $t$에 대해 미분해 봅시다. 분수 형태이므로 몫의 미분법 $\left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f'g - fg'}{g^2}$을 적용합니다.
$$\begin{aligned}
\frac{dx}{dt} &= \frac{(5t)'(t^2+1) - (5t)(t^2+1)'}{(t^2+1)^2} \\
&= \frac{5(t^2+1) - 5t(2t)}{(t^2+1)^2} \\
&= \frac{5t^2 + 5 - 10t^2}{(t^2+1)^2} \\
&= \frac{5 - 5t^2}{(t^2+1)^2}
\end{aligned}$$
이제 $t=2$일 때의 $\frac{dx}{dt}$ 값을 구해둡시다. $t=2$를 대입하면,
$$\frac{dx}{dt}\Big|_{t=2} = \frac{5 - 5(2)^2}{(2^2+1)^2} = \frac{5 - 20}{5^2} = \frac{-15}{25} = -\frac{3}{5}$$
2단계: $\frac{dy}{dt}$ 구하기
이번에는 $y = 3\ln(t^2+1)$을 $t$에 대해 미분해 봅시다. 합성함수의 미분법을 사용하여 겉미분과 속미분을 차례로 해줍니다. ($\ln(f(t))$를 미분하면 $\frac{f'(t)}{f(t)}$가 됩니다.)
$$\begin{aligned}
\frac{dy}{dt} &= 3 \cdot \frac{1}{t^2+1} \cdot (t^2+1)' \\
&= 3 \cdot \frac{2t}{t^2+1} \\
&= \frac{6t}{t^2+1}
\end{aligned}$$
이제 $t=2$일 때의 $\frac{dy}{dt}$ 값을 구해봅시다. $t=2$를 대입하면,
$$\frac{dy}{dt}\Big|_{t=2} = \frac{6(2)}{2^2+1} = \frac{12}{5}$$
3단계: $\frac{dy}{dx}$ 계산하기
매개변수 미분 공식에 우리가 구한 값들을 대입하여 최종적으로 $t=2$일 때의 $\frac{dy}{dx}$를 구합니다.
$$\frac{dy}{dx}\Big|_{t=2} = \frac{\frac{dy}{dt}\Big|_{t=2}}{\frac{dx}{dt}\Big|_{t=2}} = \frac{\frac{12}{5}}{-\frac{3}{5}}$$
분모와 분자에 각각 $5$를 곱해 정리하면 다음과 같습니다.
$$\frac{dy}{dx}\Big|_{t=2} = \frac{12}{-3} = -4$$
답
정답은 **④ $-4$** 입니다.
확인해보기
오늘 배운 매개변수 미분법을 잘 이해했는지 스스로 확인해 볼까요? 다음 문제를 직접 풀어보세요!
> [질문]
> 매개변수 $t$로 나타내어진 곡선 $x = t^2 + 2t$, $y = t^3 - 3t$가 있습니다. $t=1$일 때, 이 곡선의 접선의 기울기 $\frac{dy}{dx}$의 값은 얼마일까요?