어떤 문제인가
이 문제는 지수함수를 포함한 극한 식에서 미지수 $a$와 $b$의 값을 구하는 문제입니다. 문제를 해결하기 위해 우리는 다음 두 가지 핵심 개념을 사용할 거예요.
- **$\frac{0}{0}$ 꼴의 극한 성질**: 극한값이 존재하고 분모가 $0$으로 수렴할 때, 분자도 반드시 $0$으로 수렴해야 합니다.
- 지수함수의 극한 공식: $\lim_{t \to 0} \frac{2^t - 1}{t} = \ln 2$ 임을 이용하여 식을 변형합니다.
단계별 풀이
1단계: 분모가 $0$으로 갈 때 분자의 극한 생각하기
주어진 극한 식을 다시 한번 써볼게요.
$$\lim_{x \to 0} \frac{2^{ax+b} - 8}{2^{bx} - 1} = 16$$
$x \to 0$일 때 분모의 극한을 먼저 구해봅시다.
$$\lim_{x \to 0} (2^{bx} - 1) = 2^0 - 1 = 0$$
분모가 $0$으로 가는데 극한값이 $16$이라는 상수로 존재하므로, **분자 역시 $0$으로 수렴해야만 합니다.**
$$\lim_{x \to 0} (2^{ax+b} - 8) = 0$$
여기에 $x = 0$을 대입하면 다음과 같습니다.
$$2^b - 8 = 0$$
$$2^b = 8 \implies b = 3$$
이렇게 해서 먼저 $b = 3$이라는 값을 아주 쉽게 찾아냈습니다!
2단계: 구한 $b$를 대입하여 식 정리하기
이제 원래 식에 $b = 3$을 대입해서 식을 단순하게 만들어 봅시다.
$$\lim_{x \to 0} \frac{2^{ax+3} - 8}{2^{3x} - 1} = 16$$
분자의 $2^{ax+3}$은 지수법칙에 의해 $2^{ax} \cdot 2^3 = 8 \cdot 2^{ax}$로 바꿀 수 있습니다. 분자를 $8$로 묶어볼까요?
$$\lim_{x \to 0} \frac{8(2^{ax} - 1)}{2^{3x} - 1} = 16$$
양변을 $8$로 나누어 식을 더 간단히 만듭니다.
$$\lim_{x \to 0} \frac{2^{ax} - 1}{2^{3x} - 1} = 2$$
3단계: 지수함수의 극한 공식을 활용해 $a$ 구하기
우리가 알고 있는 지수함수의 극한 공식 형태를 만들기 위해, 분자와 분모를 각각 $x$로 나누어 줍니다.
$$\lim_{x \to 0} \frac{\frac{2^{ax} - 1}{x}}{\frac{2^{3x} - 1}{x}} = 2$$
여기서 분자와 분모의 지수 모양($ax$와 $3x$)에 맞추어 형태를 변형해 줍니다.
$$\lim_{x \to 0} \frac{\frac{2^{ax} - 1}{ax} \cdot a}{\frac{2^{3x} - 1}{3x} \cdot 3} = 2$$
$x \to 0$일 때, $ax \to 0$이고 $3x \to 0$이므로 공식 $\lim_{t \to 0} \frac{2^t - 1}{t} = \ln 2$를 적용할 수 있습니다.
$$\frac{a \cdot \ln 2}{3 \cdot \ln 2} = 2$$
분모와 분자의 $\ln 2$를 약분하면 다음과 같이 아주 간단한 식이 됩니다.
$$\frac{a}{3} = 2 \implies a = 6$$
4단계: $a+b$ 계산하기
우리가 구한 값은 $a = 6$, $b = 3$입니다.
따라서 구하고자 하는 값은 다음과 같습니다.
$$a+b = 6+3 = 9$$
답
**① $9$**
확인해보기
오늘 배운 개념을 잘 이해했는지 스스로 확인해 볼까요? 다음 극한 식을 만족하는 상수 $a$의 값은 얼마일까요? (힌트: 3단계에서 사용한 분모, 분자를 $x$로 나누는 방법을 사용해 보세요!)
$$\lim_{x \to 0} \frac{5^{ax} - 1}{5^{2x} - 1} = 4$$