어떤 문제인가
이 문제는 주어진 방정식의 실근의 개수가 특정 조건(여기서는 2개)을 만족하도록 하는 실수 $t$의 값을 구하는 문제입니다.
문제를 해결하기 위해 우리는 다음 3가지 핵심 개념을 사용할 거예요.
- 방정식의 실근과 그래프의 교점: 방정식 $f(x) = t$의 서로 다른 실근의 개수는 함수 $y = f(x)$의 그래프와 가로선인 직선 $y = t$가 만나는 교점의 개수와 같습니다.
- 로그함수의 진수 조건: 식에 $\ln x$가 포함되어 있으므로, $x$는 항상 양수($x > 0$)여야 합니다.
- 미분을 이용한 그래프 그리기: 함수의 도함수를 구해 극댓값과 극솟값을 찾고, 이를 바탕으로 그래프의 개형을 그립니다.
단계별 풀이
1단계: 함수 정의하고 정의역 확인하기
방정식의 좌변을 하나의 함수 $f(x)$로 두겠습니다.
$$f(x) = x^2 - 5x + 2\ln x$$
이때, 로그의 진수 조건에 의해 이 함수의 정의역은 **$x > 0$**입니다. 우리가 그릴 그래프는 $y$축의 오른쪽($x > 0$)에만 존재한다는 것을 꼭 기억하세요!
2단계: 미분하여 극값 후보 찾기
그래프의 모양을 알기 위해 $f(x)$를 $x$에 대해 미분해 봅시다.
$$f'(x) = 2x - 5 + \frac{2}{x}$$
분수를 통분하여 정리하면 다음과 같습니다.
$$f'(x) = \frac{2x^2 - 5x + 2}{x}$$
도함수가 $0$이 되는 점($f'(x) = 0$)에서 극값을 가질 수 있으므로, 분자가 $0$이 되는 $x$ 값을 찾습니다. (정의역이 $x > 0$이므로 분모는 항상 양수입니다.)
$$2x^2 - 5x + 2 = 0$$
$$(2x - 1)(x - 2) = 0$$
따라서 $x = \frac{1}{2}$ 또는 $x = 2$입니다. 두 값 모두 $x > 0$ 범위에 있으므로 극값의 후보가 됩니다.
3단계: 함수의 증가·감소와 극값 계산하기
$f'(x)$의 부호 변화를 통해 함수의 증가와 감소를 표로 나타내거나 머릿속으로 그려봅시다.
- $0 < x < \frac{1}{2}$ 일 때: $f'(x) > 0$ 이므로 함수는 증가합니다.
- $\frac{1}{2} < x < 2$ 일 때: $f'(x) < 0$ 이므로 함수는 감소합니다.
- $x > 2$ 일 때: $f'(x) > 0$ 이므로 함수는 증가합니다.
즉, 함수 $f(x)$는 다음과 같은 극값을 가집니다.
- 극댓값 (at $x = \frac{1}{2}$):
$$f\left(\frac{1}{2}\right) = \left(\frac{1}{2}\right)^2 - 5\left(\frac{1}{2}\right) + 2\ln\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{4} - \frac{5}{2} - 2\ln 2 = -\frac{9}{4} - 2\ln 2$$
- 극솟값 (at $x = 2$):
$$f(2) = 2^2 - 5(2) + 2\ln 2 = 4 - 10 + 2\ln 2 = -6 + 2\ln 2$$
또한, $x \to 0^+$일 때 $2\ln x \to -\infty$이므로 $f(x) \to -\infty$이고, $x \to \infty$일 때 $f(x) \to \infty$가 됩니다.
4단계: 교점의 개수가 2개가 되는 조건 찾기
이제 머릿속으로 $y = f(x)$의 그래프를 그려봅시다.
그래프는 $-\infty$에서 시작해 위로 올라가다가 $x = \frac{1}{2}$에서 극대를 찍고 내려와, $x = 2$에서 극소를 찍은 후 다시 무한히 위로 올라가는 형태입니다.
여기에 가로선 $y = t$를 그었을 때 교점이 딱 2개가 되려면, 이 가로선이 어디를 지나야 할까요?
바로 극댓값을 지날 때와 극솟값을 지날 때입니다!
- $t = f\left(\frac{1}{2}\right)$ 일 때: 극대점 1개와 오른쪽 올라가는 부분에서 1개, 총 2개의 교점을 가집니다.
- $t = f(2)$ 일 때: 극소점 1개와 왼쪽 내려가는 부분에서 1개, 총 2개의 교점을 가집니다.
5단계: 모든 실수 $t$의 값의 합 구하기
조건을 만족하는 모든 $t$의 값은 $f\left(\frac{1}{2}\right)$과 $f(2)$입니다. 이 둘을 더해봅시다.
$$\text{합} = f\left(\frac{1}{2}\right) + f(2)$$
$$\text{합} = \left(-\frac{9}{4} - 2\ln 2\right) + \left(-6 + 2\ln 2\right)$$
여기서 복잡해 보였던 로그 항인 $-2\ln 2$와 $+2\ln 2$가 서로 더해지면서 깔끔하게 사라집니다!
$$\text{합} = -\frac{9}{4} - 6 = -\frac{9}{4} - \frac{24}{4} = -\frac{33}{4}$$
답
정답은 **② $-\frac{33}{4}$** 입니다.
확인해보기
위 풀이를 잘 이해했는지 스스로 점검해 보세요.
> 질문: 만약 문제에서 "서로 다른 실근의 개수가 3개가 되도록 하는 실수 $t$의 값의 범위"를 구하라고 했다면, $t$의 범위는 어떻게 되어야 할까요? (위에서 구한 극댓값과 극솟값을 이용하여 생각해 보세요.)