어떤 문제인가
이 문제는 곡선 위의 한 점에서의 접선과, 그 점을 지나는 또 다른 직선이 이루는 '예각의 크기'를 구한 뒤, 삼각함수의 극한값을 구하는 문제입니다.
문제를 해결하기 위해 우리는 다음 3가지 핵심 개념을 사용할 거예요.
- 도함수와 접선의 기울기: 곡선 $y = f(x)$ 위의 점 $(t, f(t))$에서 접선의 기울기는 미분계수 $f'(t)$와 같습니다.
- 두 직선이 이루는 예각의 크기: 두 직선의 기울기가 각각 $m_1, m_2$일 때, 두 직선이 이루는 예각의 크기 $\theta$에 대하여 $\tan \theta = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2} \right|$가 성립합니다.
- 삼각함수의 극한: $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$과 이를 응용한 극한 공식을 활용합니다.
단계별 풀이
1단계: 두 직선의 기울기 구하기
먼저 두 직선의 기울기를 각각 구해봅시다.
- 첫 번째 직선(접선): 곡선 $y = \sin x$를 미분하면 $y' = \cos x$입니다. 따라서 점 $\mathrm{P}(t, \sin t)$에서의 접선의 기울기 $m_1$은 다음과 같습니다.
$$m_1 = \cos t$$
- 두 번째 직선: 문제에서 점 $\mathrm{P}$를 지나고 기울기가 $-1$인 직선이라고 주어졌으므로, 이 직선의 기울기 $m_2$는 다음과 같습니다.
$$m_2 = -1$$
2단계: 두 직선이 이루는 예각 $\theta$에 대해 $\tan \theta$ 표현하기
두 직선이 이루는 예각의 크기가 $\theta$이므로, 탄젠트의 덧셈정리를 이용해 $\tan \theta$를 식 공식에 대입합니다.
$$\tan \theta = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2} \right|$$
여기에 구한 기울기들을 대입해 볼까요?
$$\tan \theta = \left| \frac{\cos t - (-1)}{1 + \cos t \cdot (-1)} \right| = \left| \frac{\cos t + 1}{1 - \cos t} \right|$$
이때, $t$의 범위가 $0 < t < \pi$이므로 $\cos t$는 $-1$보다 크고 $1$보다 작습니다 ($-1 < \cos t < 1$).
따라서 분자인 $\cos t + 1$과 분모인 $1 - \cos t$는 모두 항상 양수입니다. 절댓값 기호를 그냥 벗겨낼 수 있겠네요!
$$\tan \theta = \frac{1 + \cos t}{1 - \cos t}$$
3단계: 극한 계산을 위해 치환하기
우리가 구해야 하는 극한은 다음과 같습니다.
$$\lim_{t \to \pi-} \frac{\tan \theta}{(\pi - t)^2} = \lim_{t \to \pi-} \frac{1 + \cos t}{(1 - \cos t)(\pi - t)^2}$$
$t \to \pi-$로 갈 때 분모의 $(\pi - t)$가 $0$으로 가므로, 계산을 쉽게 하기 위해 치환을 이용합시다.
$\pi - t = x$라고 놓으면, $t \to \pi-$일 때 $x \to 0+$가 됩니다.
또한 $t = \pi - x$이므로, $\cos t$는 다음과 같이 바뀝니다.
$$\cos t = \cos(\pi - x) = -\cos x$$
이 식들을 극한식에 대입해 봅시다.
$$\lim_{x \to 0+} \frac{1 - \cos x}{(1 + \cos x) \cdot x^2}$$
4단계: 극한값 계산하기
이제 식을 정리하여 극한값을 구해봅시다. 식을 두 부분으로 나누어 써볼게요.
$$\lim_{x \to 0+} \left( \frac{1 - \cos x}{x^2} \cdot \frac{1}{1 + \cos x} \right)$$
여기서 우리는 아주 중요한 삼각함수의 극한 공식을 알고 있습니다.
$$\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} = \frac{1}{2}$$
*(이 공식이 기억나지 않는다면, 분자·분모에 $1+\cos x$를 곱해서 $\sin^2 x$로 바꾸어 유도할 수 있어요!)*
이 공식을 적용하면 다음과 같이 극한값이 계산됩니다.
$$\lim_{x \to 0+} \frac{1 - \cos x}{x^2} \cdot \lim_{x \to 0+} \frac{1}{1 + \cos x} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1 + 1} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$$
답
따라서 구하고자 하는 극한값은 **$\frac{1}{4}$ 이므로, 정답은 ③**입니다.
확인해보기
풀이 과정 중에서 4단계에 나온 공식인 $\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} = \frac{1}{2}$이 어떻게 유도되는지, 삼각함수의 기본 극한 공식인 $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$을 이용하여 스스로 유도해 보세요.