반갑습니다! 오늘도 즐겁게 수학을 공부해 봅시다. 오늘 함께 풀어볼 문제는 연속함수의 성질과 함수의 극대·극소를 활용하는 아주 멋진 4점짜리 수능형 문제입니다. 겉보기에는 복잡해 보이지만, 단계별로 차근차근 풀어가면 충분히 해결할 수 있습니다.
어떤 문제인가
이 문제는 주어진 관계식을 정리하여 함수 $f(x)$의 성질을 파악하고, 미정계수 $a$와 $b$를 구하는 문제입니다. 문제를 해결하기 위해 사용할 핵심 개념은 다음과 같습니다.
- 완전제곱식 만들기: 복잡한 식 $\{f(x)\}^2 + 2f(x)$를 다루기 쉬운 형태로 바꿉니다.
- 연속함수의 성질 (사잇값 정리): 함수가 연속일 때, 양수값과 음수값을 모두 가지면 그 사이에 반드시 $0$이 되는 지점이 존재한다는 성질을 이용합니다.
- 합성함수의 최솟값 구하기: 치환과 미분을 이용해 주어진 복잡한 식의 최솟값을 구합니다.
단계별 풀이
1단계: 주어진 식을 완전제곱식으로 변형하기
조건 (가)의 좌변을 보면 $\{f(x)\}^2 + 2f(x)$가 있습니다. 여기에 양변에 $1$을 더해주면 우리가 잘 아는 완전제곱식 모양을 만들 수 있습니다.
$$\{f(x)\}^2 + 2f(x) + 1 = a \cos^3 \pi x \times e^{\sin^2 \pi x} + b + 1$$
좌변을 묶어주면 다음과 같이 정리됩니다.
$$\{f(x) + 1\}^2 = a \cos^3 \pi x \times e^{\sin^2 \pi x} + b + 1 \quad \cdots \text{(식 1)}$$
실수의 제곱은 항상 $0$ 이상이므로, 우변의 식도 모든 실수 $x$에 대해 항상 $0$ 이상이어야 합니다.
2단계: 조건 (나)를 활용하여 $f(0)$과 $f(2)$의 값 구하기
조건 (나)에서 $f(0) = f(2) + 1$이라고 했습니다. 이 단서를 쓰기 위해 (식 1)에 $x=0$과 $x=2$를 각각 대입해 봅시다.
먼저 $x=0$을 대입하면:
$$\{f(0) + 1\}^2 = a \cos^3 0 \times e^{\sin^2 0} + b + 1$$
$\cos 0 = 1$, $\sin 0 = 0$이므로,
$$\{f(0) + 1\}^2 = a(1)^3 \times e^0 + b + 1 = a + b + 1 \quad \cdots \text{(식 2)}$$
다음으로 $x=2$를 대입하면:
$$\{f(2) + 1\}^2 = a \cos^3 2\pi \times e^{\sin^2 2\pi} + b + 1$$
$\cos 2\pi = 1$, $\sin 2\pi = 0$이므로,
$$\{f(2) + 1\}^2 = a(1)^3 \times e^0 + b + 1 = a + b + 1 \quad \cdots \text{(식 3)}$$
(식 2)와 (식 3)의 우변이 같으므로 다음이 성립합니다.
$$\{f(0) + 1\}^2 = \{f(2) + 1\}^2$$
여기서 계산을 편하게 하기 위해 $f(0) + 1 = X$, $f(2) + 1 = Y$라고 해봅시다.
그러면 $X^2 = Y^2$이므로 $X = Y$ 또는 $X = -Y$입니다.
그런데 조건 (나)에서 $f(0) = f(2) + 1$의 양변에 $1$을 더하면,
$$f(0) + 1 = f(2) + 1 + 1 \implies X = Y + 1$$
이 됩니다. $X = Y$일 수는 없으므로(평행한 두 직선은 만나지 않으니까요), 반드시 **$X = -Y$**여야 합니다.
두 식을 연립해 봅시다.
$$Y + 1 = -Y \implies 2Y = -1 \implies Y = -\frac{1}{1} \implies Y = -\frac{1}{2}$$
$$X = -Y = \frac{1}{2}$$
따라서 다음을 얻을 수 있습니다.
$$f(0) + 1 = \frac{1}{2}$$
$$f(2) + 1 = -\frac{1}{2}$$
이 값을 (식 2)에 대입하면 첫 번째 관계식을 얻을 수 있습니다.
$$\left(\frac{1}{2}\right)^2 = a + b + 1 \implies a + b = -\frac{3}{4} \quad \cdots \text{(ㄱ)}$$
3단계: 연속함수의 성질로 최솟값 조건 찾기
우리는 $f(x)$가 실수 전체에서 연속이라는 아주 중요한 조건을 알고 있습니다. 그렇다면 $f(x) + 1$ 역시 연속함수입니다.
위에서 구한 값을 보면:
- $x=0$ 일 때, $f(0) + 1 = \frac{1}{2} > 0$ (양수)
- $x=2$ 일 때, $f(2) + 1 = -\frac{1}{2} < 0$ (음수)
연속함수가 양수에서 음수로 변하려면, 사잇값 정리에 의해 $0$과 $2$ 사이의 어떤 실수 $c$에서 반드시 **$f(c) + 1 = 0$**이 되는 지점이 존재해야 합니다!
그렇다면 (식 1)의 좌변인 $\{f(x) + 1\}^2$의 최솟값은 반드시 **$0$**이 되어야 합니다. (제곱식은 $0$보다 작아질 수 없는데, 실제로 $0$이 되는 지점이 존재하니까요.)
따라서 우변에 있는 함수의 최솟값 역시 **$0$**이 되어야 합니다.
4단계: 우변 함수의 최솟값 구하기
우변의 함수를 $g(x) = a \cos^3 \pi x \times e^{\sin^2 \pi x} + b + 1$이라 하고, 이 함수의 최솟값을 구해봅시다. ($a > 0$ 임을 기억하세요!)
계산을 쉽게 하기 위해 $t = \cos \pi x$로 치환합시다. 실수 전체에서 $t$의 범위는 $-1 \le t \le 1$입니다.
이때 $\sin^2 \pi x = 1 - \cos^2 \pi x = 1 - t^2$이므로, $g(x)$를 $t$에 대한 함수 $h(t)$로 바꿀 수 있습니다.
$$h(t) = a \cdot t^3 e^{1-t^2} + b + 1 \quad (-1 \le t \le 1)$$
이 함수의 최솟값을 찾기 위해 $t^3 e^{1-t^2}$ 부분을 미분해 봅시다. $P(t) = t^3 e^{1-t^2}$라 하면,
$$P'(t) = 3t^2 e^{1-t^2} + t^3 e^{1-t^2}(-2t) = t^2 e^{1-t^2} (3 - 2t^2)$$
$-1 \le t \le 1$ 범위에서 $t^2 e^{1-t^2} \ge 0$이고, $3 - 2t^2 > 0$이므로, $P'(t) \ge 0$입니다.
즉, 함수 $P(t)$는 이 구간에서 계속 증가하는 함수입니다!
따라서 최솟값은 가장 작은 $t$ 값인 **$t = -1$**일 때 가집니다.
$$P(-1) = (-1)^3 e^{1 - (-1)^2} = -1 \times e^0 = -1$$
$a > 0$이므로, 전체 함수 $h(t)$의 최솟값은 $t = -1$일 때 다음과 같습니다.
$$\text{최솟값} = a(-1) + b + 1 = -a + b + 1$$
이 최솟값이 앞서 말했듯이 **$0$**이 되어야 하므로,
$$-a + b + 1 = 0 \implies a - b = 1 \quad \cdots \text{(ㄴ)}$$
5단계: 연립하여 $a \times b$ 구하기
이제 (ㄱ)과 (ㄴ) 식을 연립하여 $a$와 $b$를 구합시다.
- (ㄱ) $a + b = -\frac{3}{4}$
- (ㄴ) $a - b = 1$
두 식을 더하면:
$$2a = \frac{1}{4} \implies a = \frac{1}{8}$$
$a = \frac{1}{8}$을 (ㄴ)에 대입하면:
$$\frac{1}{8} - b = 1 \implies b = -\frac{7}{8}$$
우리가 구하고자 하는 값은 $a \times b$이므로,
$$a \times b = \frac{1}{8} \times \left(-\frac{7}{8}\right) = -\frac{7}{64}$$
답
정답은 **② $-\frac{7}{64}$** 입니다.
확인해보기
질문: 만약 문제에서 "$f(x)$가 실수 전체의 집합에서 연속"이라는 조건이 없었다면, 우리는 왜 $\{f(x)+1\}^2$의 최솟값이 $0$이라고 단정 지을 수 없을까요? 사잇값 정리와 연관 지어 스스로 생각해 보세요!