어떤 문제인가
이 문제는 곡선 위에 있는 두 점에서의 접선이 서로 '수직'이라는 조건을 이용해서 미지수 $k^2$의 값을 구하는 문제입니다.
문제를 해결하기 위해 우리는 다음 3가지 핵심 개념을 사용할 거예요.
- 이차방정식의 근과 계수의 관계: 두 점이 곡선 위에 있다는 사실로부터 이차방정식을 유도하고 두 근의 합과 곱을 구합니다.
- 음함수의 미분법: 곡선의 방정식이 $y = f(x)$ 꼴이 아닌 $x, y$가 섞여 있는 형태이므로, 음함수 미분법을 이용해 접선의 기울기($\frac{dy}{dx}$)를 구합니다.
- 두 직선의 수직 조건: 두 직선이 서로 수직이면 두 직선의 기울기의 곱은 $-1$이 됩니다.
단계별 풀이
1단계: 두 점이 곡선 위에 있다는 조건으로 식 세우기
두 점 $\mathrm{A}(a, a+k)$와 $\mathrm{B}(b, b+k)$는 모두 곡선 $C: x^2 - 2xy + 2y^2 = 15$ 위에 있습니다.
이 말은 $x = t$, $y = t+k$ (이때 $t$는 $a$ 또는 $b$)를 곡선의 방정식에 대입했을 때 식이 성립한다는 뜻입니다.
대입해 볼까요?
$$t^2 - 2t(t+k) + 2(t+k)^2 = 15$$
괄호를 풀어서 정리해 봅시다.
$$t^2 - 2t^2 - 2kt + 2(t^2 + 2kt + k^2) = 15$$
$$t^2 - 2t^2 - 2kt + 2t^2 + 4kt + 2k^2 = 15$$
$$t^2 + 2kt + 2k^2 - 15 = 0$$
이 식은 $t$에 대한 2차 방정식입니다. 점 $\mathrm{A}$와 $\mathrm{B}$가 이 곡선 위에 있으므로, $a$와 $b$는 이 방정식의 서로 다른 두 실근이 됩니다.
2단계: 근과 계수의 관계 적용하기
이차방정식 $t^2 + 2kt + 2k^2 - 15 = 0$의 두 근이 $a, b$이므로, 근과 계수의 관계에 의해 다음이 성립합니다.
$$a + b = -2k$$
$$ab = 2k^2 - 15$$
이 식들은 나중에 아주 유용하게 쓰일 예정이니 잘 기억해 두세요!
3단계: 음함수 미분법으로 접선의 기울기 공식 구하기
곡선 위의 임의의 점에서의 접선의 기울기 $\frac{dy}{dx}$를 구하기 위해, 곡선의 방정식 $x^2 - 2xy + 2y^2 = 15$의 양변을 $x$에 대해 미분합니다. (이때 $y$는 $x$의 함수로 생각합니다.)
$$\frac{d}{dx}(x^2) - \frac{d}{dx}(2xy) + \frac{d}{dx}(2y^2) = \frac{d}{dx}(15)$$
곱의 미분법과 합성함수 미분법을 조심해서 적용하면 다음과 같습니다.
$$2x - 2\left(y + x\frac{dy}{dx}\right) + 4y\frac{dy}{dx} = 0$$
정리해 볼까요?
$$2x - 2y - 2x\frac{dy}{dx} + 4y\frac{dy}{dx} = 0$$
양변을 2로 나누고, $\frac{dy}{dx}$를 가진 항끼리 묶어줍니다.
$$(2y - x)\frac{dy}{dx} = y - x$$
따라서 접선의 기울기 식은 다음과 같습니다.
$$\frac{dy}{dx} = \frac{y - x}{2y - x}$$
4단계: 두 점 $\mathrm{A}, \mathrm{B}$에서의 접선의 기울기 구하기
이제 위에서 구한 기울기 공식에 두 점 $\mathrm{A}(a, a+k)$와 $\mathrm{B}(b, b+k)$의 좌표를 각각 대입해 봅시다.
- **점 $\mathrm{A}(a, a+k)$에서의 접선의 기울기 ($m_1$)**
$$m_1 = \frac{(a+k) - a}{2(a+k) - a} = \frac{k}{a + 2k}$$
- **점 $\mathrm{B}(b, b+k)$에서의 접선의 기울기 ($m_2$)**
$$m_2 = \frac{(b+k) - b}{2(b+k) - b} = \frac{k}{b + 2k}$$
(문제 조건에서 $a+2k \neq 0$, $b+2k \neq 0$이라고 했으므로 분모가 0이 되지 않아 안전합니다.)
5단계: 수직 조건과 근과 계수의 관계를 이용해 $k^2$ 구하기
두 접선이 서로 수직이므로, 두 기울기의 곱은 $-1$이 되어야 합니다.
$$m_1 \cdot m_2 = -1$$
$$\frac{k}{a + 2k} \cdot \frac{k}{b + 2k} = -1$$
$$\frac{k^2}{(a + 2k)(b + 2k)} = -1$$
양변에 분모를 곱해 식을 정리합니다.
$$k^2 = -(a + 2k)(b + 2k)$$
$$k^2 = -(ab + 2k(a+b) + 4k^2)$$
이제 2단계에서 구해두었던 근과 계수의 관계($a+b = -2k$, $ab = 2k^2 - 15$)를 이 식에 대입해 봅시다!
$$k^2 = -\left( (2k^2 - 15) + 2k(-2k) + 4k^2 \right)$$
$$k^2 = -\left( 2k^2 - 15 - 4k^2 + 4k^2 \right)$$
$$k^2 = -(2k^2 - 15)$$
$$k^2 = -2k^2 + 15$$
이항하여 정리하면,
$$3k^2 = 15$$
$$k^2 = 5$$
답
$$5$$
확인해보기
이번 문제에서는 곡선의 방정식을 $y = ...$ 꼴로 정리하기 어려워서 음함수의 미분법을 사용했습니다.
그렇다면, **"음함수의 미분법을 사용할 때, $y$를 $x$에 대해 미분하면 왜 $\frac{dy}{dx}$가 곱해지는지"** 합성함수의 미분법(연쇄 법칙, Chain Rule)의 관점에서 스스로 설명해 볼 수 있나요?