반갑습니다! 오늘 함께 풀어볼 문제는 등비수열의 성질과 무한등비급수의 수렴 조건을 활용하는 아주 멋진 문제입니다. 조건이 조금 복잡해 보이지만, 하나씩 실타래를 풀 듯이 나아가면 충분히 스스로 해결할 수 있습니다. 선생님과 함께 단계별로 차근차근 알아봅시다!
어떤 문제인가
이 문제는 주어진 조건들을 만족하는 등비수열 $\{a_n\}$의 첫째항과 공비를 찾아내고, 최종적으로 그 수열의 절댓값들의 합인 $\sum_{n=1}^{\infty} |a_n|$을 구하는 문제입니다.
이 문제를 풀기 위해 머릿속에 떠올려야 할 핵심 개념 3가지는 다음과 같습니다:
- 등비수열의 일반항: 첫째항이 $a$, 공비가 $r$일 때 $a_n = a r^{n-1}$
- 무한등비급수의 수렴 조건과 합: 공비 $r$이 $-1 < r < 1$일 때 수렴하며, 그 합은 $S = \frac{a}{1-r}$
- 조건에 따른 수열의 변화: $a_n$의 값에 따라 $b_n$이 어떻게 결정되는지 이해하기
단계별 풀이
1단계: 공비 $r$의 범위와 첫째항 $a$의 부호 파악하기
먼저 수열 $\{b_n\}$의 급수들이 수렴한다고 했습니다. 급수가 수렴하려면 기본적으로 수열의 일반항이 $0$으로 가야 합니다. 즉, $\lim_{n \to \infty} b_n = 0$이어야 하므로, 원래 등비수열인 $a_n$도 $0$으로 수렴해야 합니다.
따라서 등비수열 $\{a_n\}$의 공비 $r$은 다음 범위를 만족해야 합니다.
$$-1 < r < 1 \quad (r \neq 0)$$
또한, 문제에서 $b_3 = -1$이라고 했습니다. $b_n$의 정의에 따라 $b_3 = -1$이 되려면 $a_3 \le -1$이어야 합니다.
$$a_3 = a r^2 \le -1$$
여기서 $r^2 > 0$이므로, 첫째항 $a$는 반드시 **음수($a < 0$)**여야 합니다.
이제 공비 $r$의 부호를 생각해 봅시다.
- 만약 $r > 0$이라면, $a < 0$이므로 모든 항 $a_n$이 음수가 됩니다. 그렇다면 짝수 번째 항들로 이루어진 수열 $b_{2n}$도 모두 음수이거나 $-1$이 될 것입니다. 하지만 조건 (나)에서 짝수 번째 항들의 합이 $8$(양수)이라고 했으므로, 이는 불가능합니다.
- 따라서 공비 $r$은 반드시 **음수($-1 < r < 0$)**여야 합니다.
요약하자면: 첫째항 $a < 0$이고, 공비 $-1 < r < 0$입니다.
2단계: 짝수 번째 항들의 합(조건 나) 분석하기
공비 $r$이 음수이므로, 등비수열 $a_n$의 부호는 음수와 양수가 번갈아 나타납니다.
- 홀수 번째 항: $a_1, a_3, a_5, \dots \implies$ 모두 음수
- 짝수 번째 항: $a_2, a_4, a_6, \dots \implies$ 모두 양수
짝수 번째 항들은 모두 양수이므로, $a_{2n} > 0$입니다. 이는 항상 $-1$보다 크므로, $b_n$의 정의에 의해 모든 자연수 $n$에 대해 다음이 성립합니다.
$$b_{2n} = a_{2n}$$
따라서 조건 (나)의 급수는 다음과 같이 쓸 수 있습니다.
$$\sum_{n=1}^{\infty} b_{2n} = \sum_{n=1}^{\infty} a_{2n} = 8$$
짝수 번째 항들은 첫째항이 $a_2 = ar$이고 공비가 $r^2$인 등비수열입니다. 무한등비급수 공식에 대입하면 다음과 같은 식을 얻을 수 있습니다.
$$\frac{ar}{1-r^2} = 8 \quad \cdots \text{ (식 1)}$$
3단계: 홀수 번째 항들의 합(조건 가) 분석하기
홀수 번째 항들은 모두 음수입니다. $a_{2n-1} = a r^{2n-2}$이며, 공비가 $r^2$ (단, $0 < r^2 < 1$)이므로 항이 진행될수록 $0$에 가까워집니다(즉, 값이 점점 커집니다).
$$a_1 < a_3 < a_5 < a_7 < \dots < 0$$
문제에서 $b_3 = -1$이라고 했으므로 $a_3 \le -1$입니다.
그렇다면 이보다 더 작은 $a_1$ 역시 당연히 $-1$ 이하가 됩니다 ($a_1 < a_3 \le -1$).
따라서 $b_1 = -1$, $b_3 = -1$입니다.
이제 $a_5$부터는 $-1$보다 크다고 가정해 봅시다 ($a_5 > -1$). 그렇다면 $n \ge 3$인 모든 홀수 번째 항에 대해 $b_{2n-1} = a_{2n-1}$이 됩니다.
이 가정을 바탕으로 조건 (가)의 식을 세워봅시다.
$$\sum_{n=1}^{\infty} b_{2n-1} = b_1 + b_3 + b_5 + b_7 + \dots = -3$$
$$-1 - 1 + \sum_{n=3}^{\infty} a_{2n-1} = -3$$
$$-2 + \sum_{n=3}^{\infty} a r^{2n-2} = -3$$
$$\sum_{n=3}^{\infty} a r^{2n-2} = -1$$
이 급수는 첫째항이 $a_5 = a r^4$이고 공비가 $r^2$인 무한등비급수입니다. 공식에 대입하면 다음과 같습니다.
$$\frac{ar^4}{1-r^2} = -1 \quad \cdots \text{ (식 2)}$$
4단계: 첫째항 $a$와 공비 $r$ 구하기
이제 우리가 구한 (식 1)과 (식 2)를 연립하여 $a$와 $r$을 구해봅시다.
$$\text{(식 1): } \frac{ar}{1-r^2} = 8$$
$$\text{(식 2): } \frac{ar^4}{1-r^2} = -1$$
(식 2)를 (식 1)로 나누어 주면 아주 쉽게 $r$을 구할 수 있습니다.
$$\frac{\frac{ar^4}{1-r^2}}{\frac{ar}{1-r^2}} = \frac{-1}{8} \implies r^3 = -\frac{1}{8}$$
따라서 공비 $r$은 다음과 같습니다.
$$r = -\frac{1}{2}$$
이 값을 (식 1)에 대입하여 첫째항 $a$를 구합니다.
$$\frac{a \left(-\frac{1}{2}\right)}{1 - \left(-\frac{1}{2}\right)^2} = 8 \implies \frac{-\frac{1}{2}a}{\frac{3}{4}} = 8 \implies -\frac{2}{3}a = 8 \implies a = -12$$
*(확인: $a_5 = a r^4 = -12 \times \frac{1}{16} = -\frac{3}{4} > -1$ 이므로, 3단계에서 세운 가정 " $a_5 > -1$ "이 참임을 만족합니다!)*
5단계: 최종 값 계산하기
우리가 구한 등비수열 $\{a_n\}$의 첫째항은 $a = -12$, 공비는 $r = -1/2$입니다.
우리가 구하고자 하는 것은 수열의 절댓값의 합인 $\sum_{n=1}^{\infty} |a_n|$ 입니다.
새로운 수열 $\{|a_n|\}$은 다음과 같습니다.
$$|a_n| = |a r^{n-1}| = |a| \cdot |r|^{n-1} = 12 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}$$
즉, 첫째항이 $12$이고 공비가 $1/2$인 무한등비급수입니다.
공식을 사용하여 합을 구하면:
$$\sum_{n=1}^{\infty} |a_n| = \frac{12}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{12}{\frac{1}{2}} = 24$$
답
$$24$$
확인해보기
풀이 과정을 잘 이해했는지 스스로 점검해 봅시다.
질문:
만약 이 문제에서 다른 조건은 모두 같고 $b_3 = -1$ 대신 **$b_1 = -1$ 이고 $b_3 > -1$** 이라는 조건이 주어졌다면, 3단계의 홀수 번째 항들의 합 식인 $\sum_{n=1}^{\infty} b_{2n-1} = -3$ 은 어떻게 식으로 표현되어야 할까요? (직접 식을 세워보세요!)