어떤 문제인가
이 문제는 거듭제곱근과 지수법칙을 이용하여 주어진 식을 간단히 계산하는 문제입니다. 문제를 해결하기 위해 알아야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다.
- 거듭제곱근의 성질: $\sqrt[n]{a^n} = a$ (단, $a > 0$)
- 지수법칙 (유리수 지수): $a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$
- 음수 지수의 정의: $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$
이 개념들을 적용해 식의 두 부분을 각각 간단히 만든 후 곱해주면 됩니다.
단계별 풀이
1단계: 앞부분인 $\sqrt[3]{27}$ 간단히 하기
먼저 근호 안의 수인 $27$을 소인수분해 해봅시다. $27$은 $3$을 세 번 곱한 수입니다.
$$27 = 3^3$$
이를 식에 대입하면 다음과 같이 거듭제곱근을 벗길 수 있습니다.
$$\sqrt[3]{27} = \sqrt[3]{3^3} = 3$$
또는 지수법칙을 사용하여 $27^{\frac{1}{3}} = (3^3)^{\frac{1}{3}} = 3^{3 \times \frac{1}{3}} = 3^1 = 3$으로 계산해도 좋습니다.
2단계: 뒷부분인 $4^{-\frac{1}{2}}$ 간단히 하기
이번에는 밑인 $4$를 소인수분해 해봅시다. $4$는 $2$의 제곱입니다.
$$4 = 2^2$$
이제 지수법칙 $(a^m)^n = a^{m \times n}$을 적용해 봅시다.
$$4^{-\frac{1}{2}} = (2^2)^{-\frac{1}{2}} = 2^{2 \times \left(-\frac{1}{2}\right)} = 2^{-1}$$
음수 지수는 역수를 뜻하므로, 다음과 같이 정리됩니다.
$$2^{-1} = \frac{1}{2}$$
3단계: 두 값을 곱하여 최종 답 구하기
1단계와 2단계에서 구한 값을 곱해줍니다.
$$\sqrt[3]{27} \times 4^{-\frac{1}{2}} = 3 \times \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$$
답
⑤ $\frac{3}{2}$
확인해보기
오늘 배운 지수법칙을 잘 이해했는지 다음 문제를 스스로 풀어보며 확인해 보세요!
> 질문: $\sqrt{16} \times 27^{-\frac{1}{3}}$의 값은 무엇일까요? (힌트: $16$과 $27$을 소인수분해한 뒤 지수법칙을 적용해 보세요.)