어떤 문제인가
이 문제는 삼차함수의 그래프와 $x$축으로 둘러싸인 두 영역의 넓이 관계를 이용하여 미지수 $k$의 값을 구하는 문제입니다.
문제를 해결하기 위해 우리는 다음 세 가지 핵심 개념을 사용할 거예요:
- **함수의 그래프와 $x$축의 교점**: 함수 $f(x)=0$의 실근을 통해 교점의 좌표를 구합니다.
- 정적분과 넓이의 관계: $x$축 위쪽에 있는 영역의 넓이는 정적분 값과 같고, $x$축 아래쪽에 있는 영역의 넓이는 정적분 값에 마이너스($-$)를 붙인 것과 같습니다.
- 정적분의 성질(구간의 합치기): $\int_{a}^{b} f(x)dx + \int_{b}^{c} f(x)dx = \int_{a}^{c} f(x)dx$ 성질을 이용해 복잡한 식을 아주 간단하게 바꿀 수 있습니다.
단계별 풀이
1단계: $x$축과의 교점인 점 $\text{P}$와 점 $\text{Q}$의 좌표 구하기
곡선 $y=f(x)$가 $x$축과 만나는 점은 $f(x)=0$을 만족하는 $x$값입니다. 식을 세워볼까요?
$$kx(x-2)(x-3) = 0$$
양수 $k$에 대하여 이 방정식의 근은 $x = 0$, $x = 2$, $x = 3$입니다.
따라서 그래프가 $x$축과 만나는 세 점의 $x$좌표는 크기 순서대로 $0, 2, 3$이 됩니다.
문제에서 원점 $\text{O}(0,0)$ 외의 두 점을 $\text{P}, \text{Q}$라 했고, $\overline{\text{OP}} < \overline{\text{OQ}}$라고 했으므로 각 점의 좌표는 다음과 같습니다.
- $\text{O} = (0, 0)$
- $\text{P} = (2, 0)$
- $\text{Q} = (3, 0)$
이때 영역 $A$는 구간 $[0, 2]$에서 곡선과 $x$축으로 둘러싸인 부분이고, 영역 $B$는 구간 $[2, 3]$에서 곡선과 $x$축으로 둘러싸인 부분입니다.
2단계: 영역 $A$와 $B$의 넓이를 정적분으로 표현하기
정적분을 이용해 두 영역의 넓이를 식으로 나타내 봅시다.
- **영역 $A$의 넓이**: 구간 $[0, 2]$에서 $f(x) \ge 0$이므로, 넓이는 정적분 값과 같습니다.
$$\text{A의 넓이} = \int_{0}^{2} f(x) dx$$
- **영역 $B$의 넓이**: 구간 $[2, 3]$에서 $f(x) \le 0$이므로, 넓이는 정적분 값에 마이너스($-$)를 붙여야 합니다.
$$\text{B의 넓이} = -\int_{2}^{3} f(x) dx$$
3단계: 주어진 조건 $(\text{A의 넓이}) - (\text{B의 넓이}) = 3$ 적용하기
이제 문제에서 주어진 식에 위에서 구한 정적분 식을 대입해 봅시다.
$$(\text{A의 넓이}) - (\text{B의 넓이}) = 3$$
$$\int_{0}^{2} f(x) dx - \left( -\int_{2}^{3} f(x) dx \right) = 3$$
마이너스 기호가 만나서 플러스가 되네요!
$$\int_{0}^{2} f(x) dx + \int_{2}^{3} f(x) dx = 3$$
여기서 정적분의 아주 멋진 성질이 쓰입니다. 구간이 $0$에서 $2$까지, 그리고 이어서 $2$에서 $3$까지이므로 하나로 합칠 수 있습니다.
$$\int_{0}^{3} f(x) dx = 3$$
복잡해 보이던 넓이 문제가 결국 **$0$부터 $3$까지의 정적분 값이 $3$이다**라는 아주 심플한 식으로 바뀌었습니다!
4단계: 정적분 계산하여 $k$ 구하기
이제 $f(x)$를 전개하여 직접 적분해 봅시다.
$$f(x) = kx(x-2)(x-3) = kx(x^2 - 5x + 6) = k(x^3 - 5x^2 + 6x)$$
이 식을 $0$부터 $3$까지 적분합니다. 상수 $k$는 적분 기호 앞으로 꺼낼 수 있습니다.
$$\int_{0}^{3} f(x) dx = k \int_{0}^{3} (x^3 - 5x^2 + 6x) dx = 3$$
괄호 안의 식을 부정적분해 볼까요?
$$\int (x^3 - 5x^2 + 6x) dx = \left[ \frac{1}{4}x^4 - \frac{5}{3}x^3 + 3x^2 \right]$$
이제 위끝 $3$과 아래끝 $0$을 대입합니다.
$$\left[ \frac{1}{4}x^4 - \frac{5}{3}x^3 + 3x^2 \right]_{0}^{3} = \left( \frac{1}{4}(3)^4 - \frac{5}{3}(3)^3 + 3(3)^2 \right) - 0$$
$$= \frac{81}{4} - 45 + 27$$
$$= \frac{81}{4} - 18$$
통분해서 계산해 주면,
$$= \frac{81 - 72}{4} = \frac{9}{4}$$
따라서 우리가 구한 식은 다음과 같습니다.
$$k \cdot \frac{9}{4} = 3$$
양변에 $\frac{4}{9}$를 곱하여 $k$를 구합니다.
$$k = 3 \times \frac{4}{9} = \frac{4}{3}$$
답
**② $\frac{4}{3}$**
확인해보기
오늘 배운 개념을 잘 이해했는지 스스로 점검해 보세요.
질문: 만약 문제에서 영역 $A$의 넓이와 영역 $B$의 넓이가 서로 같다고 했다면, 정적분 값 $\int_{0}^{3} f(x) dx$는 얼마가 되어야 할까요? (답은 직접 생각해보세요!)