어떤 문제인가
이 문제는 매개변수 $t$의 변화에 따라 움직이는 점들의 위치를 파악하고, 두 점 사이의 거리를 구한 뒤, 그 식의 극한값을 구하는 문제입니다.
문제를 해결하기 위해 우리가 알아야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다:
- 곡선과 직선 사이의 최단 거리: 곡선 위의 점 중에서 어떤 직선과 가장 가까운 점은, 그 점에서의 접선의 기울기가 주어진 직선의 기울기와 같을 때 나타납니다.
- 두 직선의 교점: 두 직선의 방정식을 연립하여 교점의 좌표를 구합니다.
- 두 점 사이의 거리와 극한: 좌표평면 위의 두 점 사이의 거리 공식을 이용해 식을 세우고, 분모를 $0$으로 만드는 인수($(1-t)$)를 약분하여 극한값을 계산합니다.
단계별 풀이
1단계: 점 $\mathrm{P}$의 좌표 구하기
곡선 $y = x^2$ 위의 점 중에서 직선 $y = 2tx - 1$과의 거리가 최소인 점 $\mathrm{P}$를 찾아봅시다.
거리가 최소가 되려면 점 $\mathrm{P}$에서의 접선의 기울기가 직선의 기울기인 $2t$와 같아야 합니다.
곡선 $y = x^2$을 미분하면 $y' = 2x$입니다. 점 $\mathrm{P}$의 $x$좌표를 $x_0$라 하면 접선의 기울기는 $2x_0$가 됩니다.
$$2x_0 = 2t \implies x_0 = t$$
점 $\mathrm{P}$는 곡선 $y = x^2$ 위의 점이므로, $y$좌표는 $t^2$이 됩니다.
따라서 점 $\mathrm{P}$의 좌표는 다음과 같습니다.
$$\mathrm{P}(t, t^2)$$
2단계: 직선 $\mathrm{OP}$의 방정식 구하기
원점 $\mathrm{O}(0,0)$과 점 $\mathrm{P}(t, t^2)$를 지나는 직선의 방정식을 구해봅시다.
직선 $\mathrm{OP}$의 기울기는 다음과 같습니다.
$$\text{기울기} = \frac{t^2 - 0}{t - 0} = t \quad (t \neq 0)$$
따라서 원점을 지나는 직선 $\mathrm{OP}$의 방정식은 다음과 같습니다.
$$y = tx$$
3단계: 점 $\mathrm{Q}$의 좌표 구하기
점 $\mathrm{Q}$는 직선 $\mathrm{OP}$($y = tx$)와 직선 $y = 2tx - 1$이 만나는 교점입니다. 두 식을 연립해 봅시다.
$$tx = 2tx - 1$$
이 식을 $x$에 대해 정리하면 다음과 같습니다.
$$tx = 1 \implies x = \frac{1}{t}$$
이 $x$값을 $y = tx$에 대입하면 $y$좌표를 얻을 수 있습니다.
$$y = t \cdot \frac{1}{t} = 1$$
따라서 점 $\mathrm{Q}$의 좌표는 다음과 같습니다.
$$\mathrm{Q}\left(\frac{1}{t}, 1\right)$$
4단계: 선분 $\mathrm{PQ}$의 길이 구하기
이제 두 점 $\mathrm{P}(t, t^2)$와 $\mathrm{Q}\left(\frac{1}{t}, 1\right)$ 사이의 거리 $\overline{\mathrm{PQ}}$를 구해봅시다. 두 점 사이의 거리 공식을 사용합니다.
$$\overline{\mathrm{PQ}} = \sqrt{\left(\frac{1}{t} - t\right)^2 + (1 - t^2)^2}$$
루트 안의 식을 공통인수가 보이도록 정리해 봅시다.
$\frac{1}{t} - t = \frac{1-t^2}{t}$ 이므로, 첫 번째 항을 다음과 같이 쓸 수 있습니다.
$$\left(\frac{1}{t} - t\right)^2 = \frac{(1-t^2)^2}{t^2}$$
이를 거리 식에 대입하고 $(1-t^2)^2$으로 묶어줍니다.
$$\overline{\mathrm{PQ}} = \sqrt{\frac{(1-t^2)^2}{t^2} + (1-t^2)^2} = \sqrt{(1-t^2)^2 \left(\frac{1}{t^2} + 1\right)}$$
$0 < t < 1$이므로 $1-t^2 > 0$입니다. 따라서 제곱근 밖으로 꺼낼 수 있습니다.
$$\overline{\mathrm{PQ}} = (1-t^2) \sqrt{\frac{1+t^2}{t^2}} = \frac{1-t^2}{t}\sqrt{1+t^2}$$
인수분해 공식 $1-t^2 = (1-t)(1+t)$를 적용하면 다음과 같이 정리됩니다.
$$\overline{\mathrm{PQ}} = \frac{(1-t)(1+t)\sqrt{1+t^2}}{t}$$
5단계: 극한값 계산하기
우리가 구하고자 하는 극한식에 위에서 구한 $\overline{\mathrm{PQ}}$를 대입합니다.
$$\lim_{t \to 1-} \frac{\overline{\mathrm{PQ}}}{1-t} = \lim_{t \to 1-} \frac{\frac{(1-t)(1+t)\sqrt{1+t^2}}{t}}{1-t}$$
분모와 분자에 있는 공통인수 $(1-t)$를 약분합니다. (이 과정 덕분에 분모가 $0$이 되는 문제가 해결됩니다!)
$$\lim_{t \to 1-} \frac{(1+t)\sqrt{1+t^2}}{t}$$
이제 $t = 1$을 대입하여 극한값을 구합니다.
$$\frac{(1+1)\sqrt{1+1^2}}{1} = \frac{2\sqrt{2}}{1} = 2\sqrt{2}$$
답
**③ $2\sqrt{2}$**
확인해보기
곡선 위의 점 $\mathrm{P}$에서 직선까지의 거리가 최소가 될 때, **"왜 점 $\mathrm{P}$에서의 접선의 기울기가 주어진 직선의 기울기와 같아야 하는지"** 기하학적인 관점(평행이동 등)에서 스스로 설명해 보세요.