어떤 문제인가
등차수열 $\{a_n\}$과 그로부터 만든 수열 $\{b_n\}$의 항들로 이루어진 두 집합 $A$, $B$의 교집합 조건을 만족하는 수열을 모두 찾는 문제예요. 등차수열 $\{a_n\}$의 공차를 $d\ (d\neq 0)$라 하면 $b_n = a_n + a_{n+1} = 2a_n + d$이므로 $\{b_n\}$도 공차 $2d$인 등차수열이에요. $A$, $B$의 원소는 각각 서로 다르므로 $n(A\cap B)$는 $b_m \in A$인 $m$의 개수와 같습니다. $b_m \in A$ 조건을 $t = a_1/d$에 대한 정수 조건으로 바꾸어 전수 경우 분석하는 것이 핵심이에요.
단계별 풀이
- 조건을 식으로 정리해요. $a_2 = -4$이므로 $a_1 = -4 - d$, $a_n = a_1 + (n-1)d$입니다.
$$b_m = 2a_m + d = 2a_1 + (2m-1)d$$
$b_m \in A$이려면 어떤 $k \in \{1,2,3,4,5\}$에 대해
$$2a_1 + (2m-1)d = a_1 + (k-1)d \iff a_1 = (k-2m)d$$
즉 $t = \dfrac{a_1}{d}$가 정수이고, $k = t + 2m \in \{1,\dots,5\}$인 $m \in \{1,\dots,5\}$가 존재해야 해요. ($t$가 정수가 아니면 $A\cap B = \varnothing$입니다.)
- 교집합의 크기를 계산해요. $d \neq 0$이므로 $A$의 원소 5개, $B$의 원소 5개는 각각 서로 달라요. 따라서
$$n(A\cap B) = \#\{m \in \{1,\dots,5\} : t + 2m \in \{1,\dots,5\}\}$$
$k = t+2m$은 $t$와 홀짝이 같으므로 다음과 같이 나뉩니다.
- $t$가 짝수이면 가능한 $k \in \{2,4\}$뿐이라 교집합 크기는 최대 $2$가 되어 조건을 만족하지 못해요.
- $t$가 홀수이면 후보는 $k \in \{1,3,5\}$ 정확히 3개예요. 세 개 모두 실현되려면 각 $k$에 대해 $m = \dfrac{k-t}{2} \in \{1,\dots,5\}$, 즉 $t+2 \le k \le t+10$이 $k=1,3,5$ 모두에 대해 성립해야 하므로 $t \le -1$이고 $t \ge -5$입니다.
따라서 $t \in \{-5, -3, -1\}$ (홀수)이에요.
- 각 경우를 확인해요. $a_1 = td$와 $a_1 = -4-d$에서 $d(t+1) = -4$입니다.
- $t = -1$: $0 = -4$로 모순이 생겨 제외해요.
- $t = -5$: $-4d = -4 \Rightarrow d = 1$, $a_1 = -5$. 수열 $A = \{-5,-4,-3,-2,-1\}$, $b_n = 2a_n + 1$에서 $B = \{-9,-7,-5,-3,-1\}$, $A\cap B = \{-5,-3,-1\}$ (3개, 성립). $a_{20} = -5 + 19 \cdot 1 = 14$예요.
- $t = -3$: $-2d = -4 \Rightarrow d = 2$, $a_1 = -6$. 수열 $A = \{-6,-4,-2,0,2\}$, $b_n = 2a_n + 2$에서 $B = \{-10,-6,-2,2,6\}$, $A\cap B = \{-6,-2,2\}$ (3개, 성립). $a_{20} = -6 + 19 \cdot 2 = 32$예요.
- 합을 구해요. $14 + 32 = 46$입니다.
검산
두 경우의 $A$, $B$를 직접 나열해 교집합의 원소가 정말 3개씩인지 세어 보면 스스로 확인할 수 있어요. 추가로 공차 $d = p/q$ ($1 \le q \le 12$, $-60 \le p \le 60$, $p \neq 0$)에 대해 분모를 통분한 정수 연산으로 $A$, $B$를 만들어 $n(A\cap B)=3$인 경우를 node로 전수 탐색한 결과, $d = 1$ ($a_{20}=14$)과 $d = 2$ ($a_{20}=32$) 두 경우만 나왔고 합은 $46$으로 일치했어요.
답
$a_{20}$의 값의 합은 $46$ — ⑤
확인해보기
$t$가 짝수일 때는 왜 $n(A\cap B)$가 절대 $3$이 될 수 없는지, $k=t+2m$의 홀짝을 근거로 설명해 볼까요?