어떤 문제인가
이 문제는 사각형 $\text{ABCD}$에서 몇 가지 선분의 길이와 각도의 정보가 주어졌을 때, 최종적으로 두 선분의 길이의 합인 $\overline{\text{AB}} + \overline{\text{AD}}$를 구하는 문제입니다.
이 문제를 풀기 위해 우리가 꼭 알아야 할 핵심 개념 3가지는 다음과 같습니다:
- 사인법칙 (Law of Sines): 외접원의 지름과 삼각형의 변, 각 사이의 관계를 밝혀줍니다.
- 코사인법칙 (Law of Cosines): 두 변과 그 끼인각을 알 때, 나머지 한 변의 길이를 구할 수 있게 해줍니다.
- 삼각형의 넓이 공식: 두 변의 길이와 그 끼인각의 사인값을 이용해 넓이를 구합니다 ($S = \frac{1}{2}ab\sin\theta$).
단계별 풀이
1단계: 사인법칙을 활용해 $\sin(\angle\text{DAB})$ 구하기
먼저 문제에서 주어진 원의 성질을 이용해 봅시다.
선분 $\text{AE}$를 지름으로 하는 원은 세 점 $\text{A}$, $\text{P}_1$, $\text{P}_2$를 지납니다. 즉, 이 원은 삼각형 $\text{AP}_1\text{P}_2$의 외접원이고, 그 지름은 $\overline{\text{AE}}$입니다.
마찬가지로 선분 $\text{CE}$를 지름으로 하는 원은 세 점 $\text{C}$, $\text{Q}_1$, $\text{Q}_2$를 지나므로, 이 원은 삼각형 $\text{CQ}_1\text{Q}_2$의 외접원이며 지름은 $\overline{\text{CE}}$입니다.
각 삼각형에 사인법칙을 적용해 볼까요?
- $\triangle\text{AP}_1\text{P}_2$에서:
$$\frac{\overline{\text{P}_1\text{P}_2}}{\sin(\angle\text{DAB})} = \overline{\text{AE}} \implies \overline{\text{P}_1\text{P}_2} = \overline{\text{AE}} \cdot \sin(\angle\text{DAB})$$
- $\triangle\text{CQ}_1\text{Q}_2$에서:
$$\frac{\overline{\text{Q}_1\text{Q}_2}}{\sin(\angle\text{BCD})} = \overline{\text{CE}} \implies \overline{\text{Q}_1\text{Q}_2} = \overline{\text{CE}} \cdot \sin(\angle\text{BCD})$$
문제에서 $\overline{\text{AC}}$를 $1:2$로 내분하는 점이 $\text{E}$라고 했으므로, $\overline{\text{AE}} = k$라 두면 $\overline{\text{CE}} = 2k$가 됩니다.
또한, $\cos(\angle\text{BCD}) = -\frac{1}{3}$이므로 사인값도 구할 수 있습니다 ($\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ 이용):
$$\sin(\angle\text{BCD}) = \sqrt{1 - \left(-\frac{1}{3}\right)^2} = \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$$
이제 두 선분의 길이의 비를 식으로 나타내 봅시다.
$$\frac{\overline{\text{P}_1\text{P}_2}}{\overline{\text{Q}_1\text{Q}_2}} = \frac{k \cdot \sin(\angle\text{DAB})}{2k \cdot \sin(\angle\text{BCD})} = \frac{\sin(\angle\text{DAB})}{2 \cdot \frac{2\sqrt{2}}{3}} = \frac{3\sin(\angle\text{DAB})}{4\sqrt{2}}$$
이 비율이 문제에서 $3 : 5\sqrt{2}$라고 주어졌습니다.
$$\frac{3\sin(\angle\text{DAB})}{4\sqrt{2}} = \frac{3}{5\sqrt{2}}$$
양변을 정리하면 아주 깔끔하게 사인값을 얻을 수 있습니다!
$$\sin(\angle\text{DAB}) = \frac{4}{5}$$
문제 조건에서 $\angle\text{DAB} > \frac{\pi}{2}$ (둔각)이라고 했으므로, 코사인값은 음수가 됩니다.
$$\cos(\angle\text{DAB}) = -\sqrt{1 - \sin^2(\angle\text{DAB})} = -\sqrt{1 - \frac{16}{25}} = -\frac{3}{5}$$
2단계: 삼각형 $\text{ABD}$의 넓이로 $\overline{\text{AB}} \times \overline{\text{AD}}$ 구하기
삼각형 $\text{ABD}$의 넓이가 $2$라고 주어졌습니다. 삼각형 넓이 공식을 써봅시다.
$$\text{넓이} = \frac{1}{2} \cdot \overline{\text{AB}} \cdot \overline{\text{AD}} \cdot \sin(\angle\text{DAB}) = 2$$
위에서 구한 $\sin(\angle\text{DAB}) = \frac{4}{5}$를 대입합니다.
$$\frac{1}{2} \cdot \overline{\text{AB}} \cdot \overline{\text{AD}} \cdot \frac{4}{5} = 2$$
$$\frac{2}{5} \cdot \overline{\text{AB}} \cdot \overline{\text{AD}} = 2 \implies \overline{\text{AB}} \cdot \overline{\text{AD}} = 5$$
3단계: 코사인법칙으로 대각선 $\overline{\text{BD}}$의 길이 구하기
이번에는 아래쪽에 있는 삼각형 $\text{BCD}$를 보겠습니다. 두 변의 길이 $\overline{\text{BC}} = 3$, $\overline{\text{CD}} = 2$와 그 끼인각의 코사인값 $\cos(\angle\text{BCD}) = -\frac{1}{3}$을 알고 있으니, 코사인법칙을 사용해 대각선 $\overline{\text{BD}}$의 길이를 구할 수 있습니다.
$$\overline{\text{BD}}^2 = \overline{\text{BC}}^2 + \overline{\text{CD}}^2 - 2 \cdot \overline{\text{BC}} \cdot \overline{\text{CD}} \cdot \cos(\angle\text{BCD})$$
$$\overline{\text{BD}}^2 = 3^2 + 2^2 - 2 \cdot 3 \cdot 2 \cdot \left(-\frac{1}{3}\right)$$
$$\overline{\text{BD}}^2 = 9 + 4 + 4 = 17$$
4단계: 삼각형 $\text{ABD}$에서 코사인법칙 적용하기
이제 위쪽 삼각형 $\text{ABD}$에서 다시 한번 코사인법칙을 적용해 봅시다.
$$\overline{\text{BD}}^2 = \overline{\text{AB}}^2 + \overline{\text{AD}}^2 - 2 \cdot \overline{\text{AB}} \cdot \overline{\text{AD}} \cdot \cos(\angle\text{DAB})$$
우리가 이미 알고 있는 값들을 대입해 볼까요?
- $\overline{\text{BD}}^2 = 17$
- $\overline{\text{AB}} \cdot \overline{\text{AD}} = 5$
- $\cos(\angle\text{DAB}) = -\frac{3}{5}$
$$17 = \overline{\text{AB}}^2 + \overline{\text{AD}}^2 - 2 \cdot 5 \cdot \left(-\frac{3}{5}\right)$$
$$17 = \overline{\text{AB}}^2 + \overline{\text{AD}}^2 + 6$$
$$\overline{\text{AB}}^2 + \overline{\text{AD}}^2 = 11$$
5단계: 곱셈공식 변형으로 최종 답 구하기
우리가 구하고자 하는 것은 $\overline{\text{AB}} + \overline{\text{AD}}$입니다.
곱셈공식 $(\alpha + \beta)^2 = \alpha^2 + \beta^2 + 2\alpha\beta$를 이용해 마무리해 봅시다!
$$(\overline{\text{AB}} + \overline{\text{AD}})^2 = \overline{\text{AB}}^2 + \overline{\text{AD}}^2 + 2 \cdot \overline{\text{AB}} \cdot \overline{\text{AD}}$$
$$(\overline{\text{AB}} + \overline{\text{AD}})^2 = 11 + 2 \cdot 5 = 21$$
길이는 항상 양수이므로, 양의 제곱근을 취합니다.
$$\overline{\text{AB}} + \overline{\text{AD}} = \sqrt{21}$$
답
정답은 **① $\sqrt{21}$** 입니다.
확인해보기
풀이 과정을 잘 이해했는지 스스로 점검해 봅시다.
질문: 1단계 풀이에서 "선분 $\text{AE}$를 지름으로 하는 원이 삼각형 $\text{AP}_1\text{P}_2$의 외접원이다"라고 판단할 수 있었던 기하학적 이유는 무엇일까요? (힌트: 원주각의 성질과 지름의 관계를 생각해 보세요.)