어떤 문제인가
이 문제는 수직선 위를 움직이는 점의 속도가 주어졌을 때, 조건에 맞는 상수 $a$의 값을 구하고 그때의 위치의 변화량(변위)의 최댓값을 구하는 문제입니다.
이 문제를 풀기 위해 머릿속에 넣어두어야 할 핵심 개념은 다음 3가지입니다:
- 운동 방향의 변화: 속도 $v(t)$의 부호(양수/음수)가 바뀔 때 운동 방향이 바뀝니다.
- 인수분해와 중근: 다항함수에서 그래프가 $t$축을 뚫고 지나가야 부호가 바뀝니다. 접하는 점(중근)에서는 부호가 바뀌지 않습니다.
- 위치의 변화량: 시각 $t=t_1$에서 $t=t_2$까지의 위치의 변화량은 속도 함수를 정적분한 값인 $\int_{t_1}^{t_2} v(t) dt$입니다.
단계별 풀이
1단계: 운동 방향을 '한 번만' 바꾸기 위한 $a$의 조건 찾기
점 $\text{P}$가 출발하는 시각은 $t=0$이고, 우리가 관심을 가지는 시간은 $t \ge 0$입니다.
속도 식을 다시 한번 볼까요?
$$v(t) = -t(t-1)(t-a)(t-2a)$$
$v(t) = 0$이 되는 시각은 $t = 0, 1, a, 2a$입니다.
출발한 후($t > 0$) 운동 방향을 바꾼다는 것은 $t > 0$인 영역에서 $v(t)$의 부호가 바뀌는 지점이 딱 한 곳만 존재해야 한다는 뜻입니다.
만약 $1, a, 2a$가 모두 서로 다른 양수라면, $v(t)$는 이 세 지점에서 모두 $t$축을 뚫고 지나가므로 운동 방향을 총 3번 바꾸게 됩니다. 따라서 한 번만 바꾸려면 이 근들 중 일부가 중근(혹은 삼중근)이 되어 그래프가 $t$축에 접하고 지나가지 않아야 합니다.
$a \ge 0$이므로 가능한 경우를 나누어 봅시다.
- **경우 1) $a = 0$일 때**
$v(t) = -t^3(t-1)$이 됩니다.
$t > 0$에서 $v(t) = 0$이 되는 점은 $t=1$ 하나뿐입니다. $t=1$ 좌우에서 $v(t)$의 부호가 바뀌므로 운동 방향을 한 번만 바꿉니다. (조건 만족!)
- **경우 2) $a > 0$이고, $a = 1$일 때**
$a=1$이면 $2a=2$가 되므로, $v(t) = -t(t-1)^2(t-2)$가 됩니다.
$t > 0$에서 $v(t) = 0$이 되는 점은 $t=1$과 $t=2$입니다.
이때 $t=1$은 제곱(중근)이므로 부호가 바뀌지 않고, $t=2$에서만 부호가 바뀝니다. 따라서 운동 방향을 한 번만 바꿉니다. (조건 만족!)
- **경우 3) $a > 0$이고, $2a = 1$일 때 (즉, $a = \frac{1}{2}$)**
$a=\frac{1}{2}$이면 $v(t) = -t(t-1)^2(t-\frac{1}{2})$이 됩니다.
이 경우도 $t=1$이 중근이 되므로, $t > 0$에서 부호가 바뀌는 지점은 $t=\frac{1}{2}$ 하나뿐입니다. 따라서 운동 방향을 한 번만 바꿉니다. (조건 만족!)
결국 가능한 $a$의 값은 **$0, \frac{1}{2}, 1$** 세 가지입니다.
2단계: 각 $a$에 대해 $t=0$에서 $t=2$까지 위치의 변화량 계산하기
위치의 변화량은 $\int_{0}^{2} v(t) dt$로 구합니다. 세 가지 경우를 각각 계산해 봅시다.
① $a = 0$일 때
$$v(t) = -t^3(t-1) = -t^4 + t^3$$
$$\int_{0}^{2} (-t^4 + t^3) dt = \left[ -\frac{1}{5}t^5 + \frac{1}{4}t^4 \right]_{0}^{2} = -\frac{32}{5} + 4 = -\frac{12}{5}$$
② $a = \frac{1}{2}$일 때
$$v(t) = -t(t-1)^2\left(t-\frac{1}{2}\right) = -t\left(t^2-2t+1\right)\left(t-\frac{1}{2}\right)$$
전개하면,
$$v(t) = -t^4 + \frac{5}{2}t^3 - 2t^2 + \frac{1}{2}t$$
정적분을 계산합니다.
$$\int_{0}^{2} \left(-t^4 + \frac{5}{2}t^3 - 2t^2 + \frac{1}{2}t\right) dt = \left[ -\frac{1}{5}t^5 + \frac{5}{8}t^4 - \frac{2}{3}t^3 + \frac{1}{4}t^2 \right]_{0}^{2}$$
$$= -\frac{32}{5} + 10 - \frac{16}{3} + 1 = 11 - \frac{32}{5} - \frac{16}{3} = 11 - \frac{176}{15} = -\frac{11}{15}$$
③ $a = 1$일 때
$$v(t) = -t(t-1)^2(t-2) = -t(t-2)(t-1)^2 = -(t^2-2t)(t^2-2t+1)$$
계산을 편하게 하기 위해 $t^2-2t = X$로 치환하여 전개하면,
$$-X(X+1) = -X^2 - X = -(t^2-2t)^2 - (t^2-2t) = -t^4 + 4t^3 - 5t^2 + 2t$$
정적분을 계산합니다.
$$\int_{0}^{2} \left(-t^4 + 4t^3 - 5t^2 + 2t\right) dt = \left[ -\frac{1}{5}t^5 + t^4 - \frac{5}{3}t^3 + t^2 \right]_{0}^{2}$$
$$= -\frac{32}{5} + 16 - \frac{40}{3} + 4 = 20 - \left(\frac{32}{5} + \frac{40}{3}\right) = 20 - \frac{296}{15} = \frac{4}{15}$$
3단계: 최댓값 선택하기
구한 세 가지 위치의 변화량은 각각 $-\frac{12}{5}$, $-\frac{11}{15}$, $\frac{4}{15}$입니다.
이 중 가장 큰 값(최댓값)은 양수인 **$\frac{4}{15}$**입니다.
답
**③ $\frac{4}{15}$**
확인해보기
질문: $a=1$일 때 속도 함수는 $v(t) = -t(t-1)^2(t-2)$입니다. 이 함수의 그래프를 그렸을 때, $t=1$에서는 그래프가 $t$축과 어떻게 만나며, 왜 이 점 전후로 점 $\text{P}$의 운동 방향이 바뀌지 않는지 그래프의 모양과 관련지어 설명해 보세요.