어떤 문제인가
이 문제는 주어진 규칙에 따라 항이 결정되는 귀납적으로 정의된 수열에 관한 문제입니다. 자연수 $k$의 값에 따라 수열의 각 항의 부호가 바뀌고, 그 부호에 따라 다음 항을 구하는 공식이 달라집니다.
이 문제를 해결하기 위해 필요한 핵심 개념은 다음과 같습니다:
- 조건에 따른 수열의 대입: 이전 항($a_n$)이 $0$ 이하인지, $0$보다 큰지에 따라 다음 항($a_{n+1}$)을 구하는 식을 올바르게 선택해야 합니다.
- 곱의 부호 결정: 네 항의 곱 $a_3 \times a_4 \times a_5 \times a_6 < 0$이 되려면, 네 수 중 **음수($<0$)인 항의 개수가 홀수 개(1개 또는 3개)여야 하며, 어느 항도 $0$이 되어서는 안 됩니다.**
- **자연수 $k$에 따른 경우 분류**: $k$가 자연수($1, 2, 3, \dots$)라는 성질을 이용하여 범위를 나누어 차근차근 추적합니다.
단계별 풀이
1단계: 초기 항 $a_1, a_2, a_3$ 구하기
먼저 첫째항 $a_1 = k$는 자연수이므로 항상 양수($a_1 > 0$)입니다. 규칙에 따라 다음 항들을 구해봅시다.
- **$a_2$ 구하기**: $a_1 > 0$이므로 아래쪽 식을 사용합니다.
$$a_2 = a_1 - 2(1) - k = k - 2 - k = -2$$
$a_2$는 $k$의 값과 상관없이 항상 $-2$로 음수입니다.
- **$a_3$ 구하기**: $a_2 = -2 \le 0$이므로 위쪽 식을 사용합니다.
$$a_3 = a_2 + 2(2) - k = -2 + 4 - k = 2 - k$$
이제 $a_3 = 2 - k$의 부호는 자연수 $k$의 값에 따라 달라집니다. $k$의 범위에 따라 경우를 나누어 봅시다.
2단계: $k = 1$인 경우 확인하기
$k=1$이면 $a_3 = 2 - 1 = 1 > 0$입니다. 이 경우 수열을 계속 구해봅시다.
- $a_3 = 1 > 0$이므로, $a_4 = a_3 - 2(3) - 1 = 1 - 6 - 1 = -6 \le 0$
- $a_4 = -6 \le 0$이므로, $a_5 = a_4 + 2(4) - 1 = -6 + 8 - 1 = 1 > 0$
- $a_5 = 1 > 0$이므로, $a_6 = a_5 - 2(5) - 1 = 1 - 10 - 1 = -10$
이제 네 항의 곱을 확인해 봅시다:
$$a_3 \times a_4 \times a_5 \times a_6 = 1 \times (-6) \times 1 \times (-10) = 60 > 0$$
조건($<0$)을 만족하지 않으므로, **$k=1$은 답이 될 수 없습니다.**
따라서 우리는 이제 **$k \ge 2$**인 경우만 생각하면 됩니다. 이 경우 $a_3 = 2 - k \le 0$입니다.
3단계: $k \ge 2$일 때, $a_4$ 구하기
$k \ge 2$이므로 $a_3 \le 0$입니다. 위쪽 식을 사용하여 $a_4$를 구합니다.
$$a_4 = a_3 + 2(3) - k = (2 - k) + 6 - k = 8 - 2k$$
여기서도 $a_4 = 8 - 2k$의 부호에 따라 경우가 나뉩니다.
- **$k = 2$일 때**:
$a_3 = 0$이 되므로, 네 항의 곱은 무조건 $0$이 되어 조건($<0$)을 만족하지 않습니다. (제외)
- **$k = 3$일 때**:
$a_3 = -1 \le 0$이고, $a_4 = 8 - 6 = 2 > 0$입니다.
* $a_4 = 2 > 0$이므로, $a_5 = a_4 - 2(4) - 3 = 2 - 8 - 3 = -9 \le 0$
* $a_5 = -9 \le 0$이므로, $a_6 = a_5 + 2(5) - 3 = -9 + 10 - 3 = -2$
* 곱을 확인하면:
$$a_3 \times a_4 \times a_5 \times a_6 = (-1) \times 2 \times (-9) \times (-2) = -36 < 0$$
조건을 만족하므로 **$k=3$은 올바른 값**입니다!
이제 $k \ge 4$인 경우를 보겠습니다. 이 경우 $a_4 = 8 - 2k \le 0$입니다.
4단계: $k \ge 4$일 때, $a_5$ 구하기
$a_4 \le 0$이므로 위쪽 식을 사용하여 $a_5$를 구합니다.
$$a_5 = a_4 + 2(4) - k = (8 - 2k) + 8 - k = 16 - 3k$$
- **$k = 4$일 때**:
$a_4 = 0$이 되므로 곱이 $0$이 되어 조건을 만족하지 않습니다. (제외)
- **$k = 5$일 때**:
$a_3 = -3 \le 0$, $a_4 = -2 \le 0$이고, $a_5 = 16 - 15 = 1 > 0$입니다.
* $a_5 = 1 > 0$이므로, $a_6 = a_5 - 2(5) - 5 = 1 - 10 - 5 = -14$
* 곱을 확인하면:
$$a_3 \times a_4 \times a_5 \times a_6 = (-3) \times (-2) \times 1 \times (-14) = -84 < 0$$
조건을 만족하므로 **$k=5$도 올바른 값**입니다!
이제 $k \ge 6$인 경우를 보겠습니다. 이 경우 $a_5 = 16 - 3k \le 0$입니다.
5단계: $k \ge 6$일 때, $a_6$ 구하기
$a_5 \le 0$이므로 위쪽 식을 사용하여 $a_6$을 구합니다.
$$a_6 = a_5 + 2(5) - k = (16 - 3k) + 10 - k = 26 - 4k$$
이때 $k \ge 6$이므로 이미 앞선 항들의 부호는 다음과 같이 결정되어 있습니다:
- $a_3 = 2 - k < 0$
- $a_4 = 8 - 2k < 0$
- $a_5 = 16 - 3k < 0$
세 항($a_3, a_4, a_5$)이 모두 음수이므로, 이들의 곱은 음수입니다. 따라서 전체 곱 $a_3 \times a_4 \times a_5 \times a_6 < 0$이 성립하려면 **마지막 항 $a_6$은 반드시 양수($>0$)**여야 합니다.
$$a_6 = 26 - 4k > 0 \implies 4k < 26 \implies k < 6.5$$
$k \ge 6$인 자연수 중에서 이 조건을 만족하는 값은 **$k = 6$** 뿐입니다.
- 실제로 $k=6$일 때 $a_6 = 26 - 24 = 2 > 0$이 되어 곱이 음수가 됩니다. **($k=6$ 올바른 값)**
- $k \ge 7$이 되면 $a_6 \le 0$이 되어 네 항이 모두 음수가 되므로 곱이 양수($>0$)가 되어 조건을 만족하지 않습니다.
6단계: 모든 $k$의 값의 합 구하기
조건을 만족하는 모든 자연수 $k$의 값은 $3, 5, 6$입니다.
이 값들의 합은 다음과 같습니다:
$$3 + 5 + 6 = 14$$
답
② 14
확인해보기
수열의 규칙을 잘 이해했는지 스스로 점검해 봅시다.
> 질문: 만약 문제의 조건이 $a_3 \times a_4 \times a_5 \times a_6 > 0$이 되도록 하는 자연수 $k$를 구하는 것이고, 곱이 $0$이 되어서는 안 된다고 할 때, 이를 만족하는 **가장 작은 자연수 $k$**의 값은 무엇일까요? (위의 풀이 과정 중에 힌트가 있습니다!)