어떤 문제인가
이 문제는 주어진 지수부등식을 만족하는 **자연수 $x$**들을 찾고, 그 값들을 모두 더하는 문제입니다.
문제를 해결하기 위해 필요한 핵심 개념은 다음과 같습니다:
- 밑 통일하기: 지수부등식을 풀기 위해 양변의 밑(Base)을 같게 만들어 줍니다.
- 지수함수의 증가·감소 성질: 밑이 $1$보다 클 때와 $0$과 $1$ 사이일 때, 지수의 대소 관계가 어떻게 변하는지 이해합니다.
- 자연수 조건: 구한 범위에서 '자연수($1, 2, 3, \dots$)'만 골라냅니다.
단계별 풀이
1단계: 양변의 밑을 $2$로 통일하기
지수부등식을 풀 때 가장 먼저 해야 할 일은 좌변과 우변의 밑을 같게 만드는 것입니다.
좌변의 밑은 $2$이고, 우변의 밑은 $\frac{1}{4}$입니다. $\frac{1}{4}$은 $2$의 거듭제곱으로 나타낼 수 있습니다.
$$\frac{1}{4} = \frac{1}{2^2} = 2^{-2}$$
이 성질을 이용해 우변을 정리해 봅시다.
$$\left(\frac{1}{4}\right)^x = \left(2^{-2}\right)^x = 2^{-2x}$$
이제 원래 부등식에 대입하면 다음과 같이 밑이 $2$로 통일됩니다.
$$2^{x-6} \le 2^{-2x}$$
2단계: 지수 비교하기 (부등호 방향 결정)
밑이 $2$로 통일되었습니다. 밑인 $2$는 $1$보다 큽니다 ($2 > 1$).
밑이 $1$보다 클 때, 지수함수는 증가함수입니다. 즉, 전체 값이 클수록 지수도 큽니다. 따라서 부등호의 방향이 그대로 유지됩니다.
$$x - 6 \le -2x$$
3단계: 일차부등식 풀기
이제 $x$에 대한 일차부등식을 풀어봅시다. 우변의 $-2x$를 좌변으로 이항하고, 좌변의 $-6$을 우변으로 이항합니다.
$$x + 2x \le 6$$
$$3x \le 6$$
양변을 $3$으로 나누면 다음과 같은 범위를 얻을 수 있습니다.
$$x \le 2$$
4단계: 조건에 맞는 자연수 $x$ 구하고 합하기
문제에서 $x$는 자연수라고 했습니다.
$x \le 2$를 만족하는 자연수 $x$는 무엇이 있을까요?
$$x = 1, 2$$
이 모든 자연수 $x$의 값의 합을 구하면 다음과 같습니다.
$$1 + 2 = 3$$
답
$$3$$
확인해보기
만약 밑이 $1$보다 작은 부등식, 예를 들어 아래와 같은 부등식을 풀 때는 지수끼리 비교할 때 부등호 방향이 어떻게 변해야 할까요? 그 이유를 지수함수의 성질과 연결 지어 생각해 보세요.
$$\left(\frac{1}{2}\right)^{a} \le \left(\frac{1}{2}\right)^{b}$$