어떤 문제인가
이 문제는 도함수(미분한 함수) $f'(x)$와 특정 지점에서의 함숫값 $f(0)$이 주어졌을 때, 원래 함수 $f(x)$를 찾아내어 $f(2)$의 값을 구하는 문제입니다.
이 문제를 풀기 위해 머릿속에 기억해야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다:
- 부정적분: 도함수 $f'(x)$를 원래 함수 $f(x)$로 되돌리는 연산입니다.
- **적분상수 $C$**: 미분하면서 사라진 상수항을 나타내기 위해 적분할 때 붙이는 미지수입니다.
- 함숫값 대입: 구한 함수식에 특정 값을 대입하여 최종 결과를 얻는 과정입니다.
단계별 풀이
1. 도함수 $f'(x)$를 적분하여 원래 함수 $f(x)$의 형태 구하기
미분의 반대 연산인 부정적분을 이용해 $f(x)$를 구합니다.
다항함수의 적분 공식인 $\int x^n dx = \frac{1}{n+1} x^{n+1} + C$ (단, $n \neq -1$)를 사용해 봅시다.
$$f(x) = \int f'(x) dx = \int (8x^3 - 1) dx$$
각 항을 공식에 맞춰 적분해 보면 다음과 같습니다.
- $8x^3$을 적분하면: $8 \times \frac{1}{4}x^4 = 2x^4$
- $-1$을 적분하면: $-x$
여기에 적분상수 $C$를 더해주면 $f(x)$의 일반적인 형태가 완성됩니다.
$$f(x) = 2x^4 - x + C$$
2. 조건 $f(0) = 3$을 이용하여 적분상수 $C$ 구하기
우리가 구한 $f(x)$ 식에는 아직 알지 못하는 상수 $C$가 있습니다. 문제에서 주어진 조건인 $f(0) = 3$을 대입하여 $C$의 값을 찾아봅시다.
$$f(0) = 2(0)^4 - 0 + C = 3$$
계산하면 $C = 3$이 나옵니다.
따라서 우리가 찾던 원래 함수 $f(x)$는 다음과 같이 완벽하게 결정됩니다.
$$f(x) = 2x^4 - x + 3$$
3. $f(2)$의 값 계산하기
이제 완성된 함수 $f(x)$에 $x = 2$를 대입하여 문제에서 요구하는 최종 값을 구합니다.
$$f(2) = 2(2)^4 - 2 + 3$$
차근차근 계산해 볼까요?
- $2^4 = 16$ 이므로, $2(2)^4 = 2 \times 16 = 32$ 입니다.
- 따라서, $f(2) = 32 - 2 + 3 = 33$ 이 됩니다.
답
$$33$$
확인해보기
오늘 배운 개념을 잘 이해했는지 아래 문제를 통해 스스로 확인해 보세요!
> 질문: 함수 $g(x)$에 대하여 $g'(x) = 3x^2 + 2x$ 이고 $g(1) = 5$ 일 때, $g(2)$의 값은 무엇일까요? (직접 적분하고 상수 $C$를 구해서 풀어보세요!)