어떤 문제인가
이 문제는 삼차함수의 미정과정(계수 $a, b$ 구하기)을 거쳐, 함수의 극댓값을 구하는 문제입니다. 이 문제를 풀기 위해 우리는 다음 3가지 핵심 개념을 사용할 거예요.
- 극값과 도함수의 관계: 미분가능한 함수 $f(x)$가 $x=\alpha$에서 극값을 가지면, 그 지점에서의 미분계수는 $0$입니다. 즉, $f'(\alpha) = 0$입니다.
- 극솟값의 의미: $x=1$에서 극솟값이 $-2$라는 것은 $f'(1) = 0$이라는 조건과 함께, 함수에 $1$을 대입한 함숫값 $f(1) = -2$라는 정보를 동시에 줍니다.
- 삼차함수의 그래프 개형: 도함수 $f'(x) = 0$의 서로 다른 두 실근에서 극대와 극소가 어떻게 나타나는지 파악합니다.
단계별 풀이
1단계: $x=1$에서 극값을 가질 조건 이용하기
함수 $f(x) = ax^3 + bx + a$가 $x=1$에서 극소이므로, $x=1$에서의 미분계수(접선의 기울기)는 $0$이 되어야 합니다.
먼저 $f(x)$를 미분하여 도함수 $f'(x)$를 구합니다.
$$f'(x) = 3ax^2 + b$$
$x=1$을 대입하면 $0$이 되어야 하므로,
$$f'(1) = 3a(1)^2 + b = 3a + b = 0$$
이 식을 정리하면 다음과 같은 관계식을 얻을 수 있습니다.
$$b = -3a \quad \cdots \text{ (식 1)}$$
2단계: 극솟값이 $-2$라는 조건으로 $a, b$ 구하기
$x=1$에서 극솟값이 $-2$이므로, 원래 함수에 $x=1$을 대입한 값은 $-2$입니다.
$$f(1) = a(1)^3 + b(1) + a = 2a + b = -2 \quad \cdots \text{ (식 2)}$$
이제 (식 1)에서 구한 $b = -3a$를 (식 2)에 대입해 봅시다.
$$2a + (-3a) = -2$$
$$-a = -2 \implies a = 2$$
$a = 2$이므로, 이를 다시 (식 1)에 대입하면 $b$의 값도 구할 수 있습니다.
$$b = -3 \times 2 = -6$$
따라서 우리가 구하려던 삼차함수 $f(x)$와 그 도함수 $f'(x)$는 다음과 같습니다.
$$f(x) = 2x^3 - 6x + 2$$
$$f'(x) = 6x^2 - 6$$
3단계: 극댓값을 갖는 $x$의 값 찾기
극댓값을 구하기 위해 도함수 $f'(x) = 0$이 되는 $x$의 값을 모두 찾습니다.
$$f'(x) = 6x^2 - 6 = 6(x^2 - 1) = 6(x-1)(x+1) = 0$$
따라서 $f'(x) = 0$을 만족하는 $x$는 $x = 1$ 또는 $x = -1$입니다.
최고차항의 계수 $a=2$가 양수($>0$)이므로, 삼차함수 $f(x)$의 그래프는 오른쪽 위로 올라가는 모양입니다.
- $x = -1$의 좌우에서 $f'(x)$의 부호가 양(+)에서 음(-)으로 바뀌므로, **$x = -1$에서 극대**가 됩니다.
- $x = 1$의 좌우에서 $f'(x)$의 부호가 음(-)에서 양(+)으로 바뀌므로, **$x = 1$에서 극소**가 됩니다. (문제의 조건과 일치하네요!)
4단계: 극댓값 계산하기
이제 극댓값을 구하기 위해 함수 $f(x)$에 $x = -1$을 대입합니다.
$$f(-1) = 2(-1)^3 - 6(-1) + 2$$
$$f(-1) = -2 + 6 + 2 = 6$$
답
$$6$$
확인해보기
만약 삼차함수 $f(x)$의 최고차항의 계수 $a$가 음수($a < 0$)였다면, $f'(x) = 0$을 만족하는 두 지점 중 **더 큰 $x$ 값**에서 극대와 극소 중 어떤 값을 가질까요? 그래프의 개형을 떠올리며 스스로 생각해 보세요.