2024학년도 6월 모의평가 수학 19번 풀이·해설

어떤 문제인가

이 문제는 삼각함수의 성질을 이용하여 미지수 $a$와 $b$의 값을 찾아내는 문제입니다. 문제를 해결하기 위해 우리는 다음 3가지 핵심 개념을 사용할 거예요.

삼각함수의 최댓값과 최솟값: $\sin$ 함수의 치역이 $[-1, 1]$이라는 성질을 이용해 함수의 최솟값을 구합니다.
부등식이 항상 성립할 조건: 모든 실수 $x$에 대해 $f(x) \ge 0$이려면, $f(x)$의 최솟값이 $0$ 이상이어야 합니다.
삼각방정식의 실근의 개수와 주기: $y = \sin bx$의 주기가 $\frac{2\pi}{b}$임을 이용하여 주어진 범위 안에서 실근이 4개가 되도록 하는 $b$의 값을 찾습니다.

조건 (가)는 모든 실수 $x$에 대하여 $f(x) \ge 0$이라고 합니다. 이 말은 $f(x)$의 최솟값이 $0$보다 크거나 같아야 한다는 뜻입니다.

함수 $f(x) = a \sin bx + 8 - a$에서 $a$는 자연수이므로 $a > 0$입니다.

$\sin bx$의 최솟값은 $-1$이므로, $f(x)$의 최솟값은 $\sin bx = -1$일 때 가집니다.

$$f(x) \text{의 최솟값} = a \cdot (-1) + 8 - a = 8 - 2a$$

이 최솟값이 $0$ 이상이어야 하므로 다음과 같은 부등식이 성립합니다.

$$8 - 2a \ge 0$$

$$2a \le 8$$

$$a \le 4$$

$a$는 자연수이므로, 가능한 $a$의 값은 $1, 2, 3, 4$ 중 하나입니다.

조건 (나)에서 $0 \le x < 2\pi$일 때, 방정식 $f(x) = 0$의 서로 다른 실근의 개수가 4개라고 했습니다.

방정식 $f(x) = 0$을 정리해 봅시다.

$$a \sin bx + 8 - a = 0$$

$$a \sin bx = a - 8$$

$$\sin bx = \frac{a - 8}{a} = 1 - \frac{8}{a}$$

여기서 $\sin bx$의 값은 항상 $-1$ 이상 $1$ 이하이어야 하므로, 우변의 값도 이 범위에 있어야 실근이 존재할 수 있습니다. 1단계에서 구한 $a = 1, 2, 3, 4$를 대입해 봅시다.

따라서 조건을 만족하는 자연수 $a$의 값은 **$4$**뿐입니다.

$a = 4$를 대입하면 우리가 풀어야 할 방정식은 다음과 같습니다.

$$\sin bx = -1$$

이제 $0 \le x < 2\pi$ 범위에서 이 방정식의 서로 다른 실근의 개수가 4개가 되도록 하는 자연수 $b$를 찾아야 합니다.

함수 $y = \sin bx$의 주기는 $\frac{2\pi}{b}$입니다.
$0 \le x < 2\pi$라는 범위는 주기 $\frac{2\pi}{b}$가 정확히 $b$번 반복되는 구간입니다. (즉, $b$개의 주기가 들어있습니다.)
한 주기 안에서 $\sin$ 값이 $-1$이 되는 지점은 딱 1군데 존재합니다. (예를 들어, $\sin \theta = -1$의 해는 한 주기 $[0, 2\pi)$ 안에서 $\theta = \frac{3\pi}{2}$ 하나뿐입니다.)

따라서, $b$개의 주기 동안 $\sin bx = -1$을 만족하는 실근의 개수는 정확히 $b$개가 됩니다.

문제에서 실근의 개수가 4개라고 했으므로, 주기가 4번 반복되어야 합니다.

$$b = 4$$

우리가 구한 값은 $a = 4$, $b = 4$입니다. 따라서 구하고자 하는 값은 다음과 같습니다.

$$a + b = 4 + 4 = 8$$

$$8$$

만약 조건 (나)에서 실근의 개수가 6개라고 주어졌다면, 자연수 $b$의 값은 무엇이 되었을까요? (단, $a$의 값은 위에서 구한 $4$와 같다고 가정합니다.)