어떤 문제인가
이 문제는 주어진 함수 $f(x)$에서 특정 지점의 미분계수(순간변화율)를 구하는 문제입니다.
문제를 해결하기 위해 이해해야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다:
- 미분계수의 정의: 극한 식 $\lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$가 의미하는 것이 함수 $f(x)$의 $x=a$에서의 미분계수 $f'(a)$라는 것을 아는 것.
- 다항함수의 미분법: $x^n$을 미분하면 $n x^{n-1}$이 된다는 공식을 이용하여 도함수 $f'(x)$를 구하는 것.
단계별 풀이
풀이 1) 미분 공식을 이용하기
1단계: 구하고자 하는 극한 식의 의미 파악하기
문제에서 요구한 식을 가만히 살펴볼까요?
$$\lim_{h \to 0} \frac{f(3+h) - f(3)}{h}$$
이 식은 미분계수의 정의에 의해 함수 $f(x)$의 $x=3$에서의 미분계수, 즉 $f'(3)$을 의미합니다.
따라서 우리는 함수 $f(x)$를 미분한 후, $x$ 자리에 $3$을 대입하면 답을 얻을 수 있습니다.
2단계: 함수 $f(x)$ 미분하기 (도함수 구하기)
주어진 함수는 $f(x) = x^2 - 2x + 3$입니다.
미분 공식($(x^n)' = n x^{n-1}$, 상수를 미분하면 $0$)을 이용하여 도함수 $f'(x)$를 구해봅시다.
$$f'(x) = (x^2)' - (2x)' + (3)'$$
$$f'(x) = 2x - 2$$
3단계: $x=3$에서의 미분계수 구하기
이제 구한 도함수 $f'(x) = 2x - 2$에 $x = 3$을 대입합니다.
$$f'(3) = 2 \times 3 - 2$$
$$f'(3) = 6 - 2 = 4$$
따라서 구하고자 하는 극한값은 $4$입니다.
풀이 2) 차분을 직접 전개하기
$f(3+h)=h^2+4h+6$, $f(3)=6$이므로
$$\frac{f(3+h)-f(3)}{h}=h+4\quad(h\ne0).$$
따라서 $h\to0$일 때 극한값은 $4$입니다.
답
④ $4$
확인해보기
오늘 배운 개념을 잘 이해했는지 스스로 확인해봅시다.
> 함수 $g(x) = 2x^2 + 5x$에 대하여, 극한값 $\lim_{h \to 0} \frac{g(1+h) - g(1)}{h}$은 미분계수 기호로 어떻게 나타낼 수 있으며, 그 값은 얼마일까요?