어떤 문제인가
이 문제는 정적분으로 정의된 함수 $g(x)$의 성질을 이해하고, 주어진 조건들을 통해 이차함수 $f(x)$를 구하는 문제입니다.
이 문제를 해결하기 위해 필요한 핵심 개념은 다음과 같습니다:
- 정적분과 미분의 관계: $g(x) = \int_0^x f(t) dt$ 일 때, $g'(x) = f(x)$ 입니다.
- 함수의 극대·극소와 최솟값: 도함수의 부호 변화를 통해 함수의 증가와 감소를 파악하고 최솟값의 위치를 찾습니다.
- 절댓값 함수의 최솟값: $|g(x)|$가 최솟값을 가질 조건과 그래프의 개형을 분석합니다.
단계별 풀이
1단계: $g(x)$와 $f(x)$의 관계 파악하기
먼저, 최고차항의 계수가 $1$인 이차함수 $f(x)$를 다음과 같이 놓을 수 있습니다.
$$f(x) = x^2 + ax + b$$
이때 $g(x) = \int_0^x f(t) dt$ 이므로, 양변을 미분하면 다음을 얻습니다.
$$g'(x) = f(x)$$
또한, 정적분의 성질에 의해 $g(0) = 0$ 입니다. $f(x)$가 이차함수이므로, $g(x)$는 최고차항의 계수가 $\frac{1}{3}$인 삼차함수입니다.
2단계: 첫 번째 조건 분석하기 ($x \ge 1$에서 $g(x) \ge g(4)$)
조건에 따르면 $x \ge 1$인 모든 실수 $x$에 대하여 $g(x) \ge g(4)$입니다. 이는 $x \ge 1$ 범위에서 $g(x)$가 $x=4$일 때 최솟값을 가진다는 뜻입니다.
$x=4$는 범위 $x \ge 1$의 내부에 있는 점이므로, 이 지점에서 최솟값을 가지려면 $g(x)$는 $x=4$에서 극솟값을 가져야 합니다. 즉, $g'(4) = 0$이어야 합니다.
$$g'(4) = f(4) = 0$$
$f(x)$는 아래로 볼록한 이차함수이고 $f(4)=0$이므로, $f(x) = 0$의 또 다른 실근을 $\alpha$라고 하면 $f(x)$를 다음과 같이 식을 세울 수 있습니다.
$$f(x) = (x-4)(x-\alpha)$$
이때, $x \ge 1$에서 $x=4$가 최솟값이 되려면 $\alpha$는 $4$보다 작아야 하며, 구체적으로는 $\alpha \le 1$이거나 $1 < \alpha < 4$인 경우 중 $g(1) \ge g(4)$를 만족해야 합니다.
3단계: 두 번째 조건 분석하기 ($x \ge 1$에서 $|g(x)| \ge |g(3)|$)
이 조건은 $x \ge 1$에서 절댓값 함수 $|g(x)|$가 $x=3$일 때 최솟값을 가진다는 의미입니다.
절댓값 기호가 씌워진 함수 $|g(x)|$의 최솟값은 항상 $0$ 이상입니다. 여기서 두 가지 가능성을 생각할 수 있습니다.
**가능성 A: $g(3) = 0$인 경우**
만약 $g(3) = 0$이라면, $|g(3)| = 0$이 됩니다. 절댓값은 항상 $0$ 이상이므로 모든 $x$에 대해 $|g(x)| \ge 0$이 성립하여 조건이 아주 자연스럽게 만족됩니다.
**가능성 B: $g(3) \neq 0$인 경우**
만약 $g(3) \neq 0$이라면, $x=3$에서 $|g(x)|$가 극소이자 최소가 되어야 하므로 $g'(3) = f(3) = 0$이어야 합니다.
이 경우 $f(x) = (x-4)(x-3)$이 됩니다.
하지만 이 식을 바탕으로 $g(x)$를 구해보면,
$$g(x) = \int_0^x (t^2 - 7t + 12) dt = \frac{1}{3}x^3 - \frac{7}{2}x^2 + 12x$$
이때 $g(1) = \frac{1}{3} - \frac{7}{2} + 12 = \frac{53}{6} \approx 8.83$ 이고,
$g(4) = \frac{64}{3} - 56 + 48 = \frac{40}{3} \approx 13.33$ 입니다.
이것은 $g(1) < g(4)$가 되어, 첫 번째 조건인 "$x \ge 1$에서 $g(x) \ge g(4)$"에 모순됩니다. (최솟값이 $g(4)$가 아니라 $g(1)$ 부근에서 생기게 됩니다.)
따라서 가능성 A인 **$g(3) = 0$**이어야만 합니다.
4단계: 식 완성하기
$g(3) = 0$임을 이용하여 $\alpha$의 값을 구해봅시다.
$$g(x) = \int_0^x (t-4)(t-\alpha) dt = \int_0^x \{t^2 - (4+\alpha)t + 4\alpha\} dt$$
$$g(x) = \frac{1}{3}x^3 - \frac{4+\alpha}{2}x^2 + 4\alpha x$$
여기에 $x=3$을 대입하면,
$$g(3) = \frac{1}{3}(27) - \frac{4+\alpha}{2}(9) + 4\alpha(3) = 0$$
$$9 - \frac{9(4+\alpha)}{2} + 12\alpha = 0$$
양변에 2를 곱하여 정리합니다.
$$18 - 9(4+\alpha) + 24\alpha = 0$$
$$18 - 36 - 9\alpha + 24\alpha = 0$$
$$-18 + 15\alpha = 0$$
$$15\alpha = 18 \implies \alpha = \frac{6}{5} = 1.2$$
따라서 $f(x)$는 다음과 같습니다.
$$f(x) = (x-4)(x-1.2)$$
*(참고: $\alpha = 1.2$일 때 $g(1) \approx 2.53$, $g(4) \approx -1.07$이므로 $g(1) \ge g(4)$ 조건을 잘 만족합니다!)*
5단계: $f(9)$ 계산하기
이제 마지막으로 $f(9)$의 값을 구합니다.
$$f(9) = (9-4)(9-1.2) = 5 \times 7.8 = 39$$
답
$$39$$
확인해보기
풀이의 3단계에서 **"만약 $g(3) \neq 0$이라면, 왜 $g'(3) = f(3) = 0$이어야만 할까?"**에 대해 미분가능한 함수의 극값 성질을 이용하여 스스로 설명해 보세요.