어떤 문제인가
이 문제는 두 곡선 $y = t - \log_2 x$와 $y = 2^{x-t}$의 교점의 $x$좌표인 $f(t)$의 성질을 묻고 있습니다. 우리가 이 문제를 해결하기 위해 꼭 알아야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다.
- 지수함수와 로그함수의 그래프: 두 함수의 증가·감소 상태와 평행이동을 이해합니다.
- 교점의 의미: 두 곡선이 만나는 점의 $x$좌표 $f(t)$는 방정식 $t - \log_2 x = 2^{x-t}$의 실근입니다.
- 사잇값 정리와 함수의 대소 관계: 두 함수의 대소 관계를 비교하여 교점의 위치가 특정 값보다 큰지 작은지 판정합니다.
단계별 풀이
1단계: 명제 ㄱ 확인하기 ($f(1)=1$이고 $f(2)=2$인가?)
$f(t)$는 두 곡선의 교점의 $x$좌표이므로, $x = f(t)$일 때 두 곡선의 $y$값이 같아집니다. 즉, 다음 식을 만족합니다.
$$t - \log_2 f(t) = 2^{f(t)-t}$$
이 식에 직접 값을 대입해서 성립하는지 확인해 봅시다.
- **$t=1$일 때, $f(1)=1$인지 확인:**
식에 $t=1, x=1$을 대입해 봅니다.
* 좌변: $1 - \log_2 1 = 1 - 0 = 1$
* 우변: $2^{1-1} = 2^0 = 1$
* 좌변과 우변이 같으므로, $t=1$일 때 교점의 $x$좌표는 $1$이 맞습니다. 즉, $f(1)=1$입니다.
- **$t=2$일 때, $f(2)=2$인지 확인:**
식에 $t=2, x=2$를 대입해 봅니다.
* 좌변: $2 - \log_2 2 = 2 - 1 = 1$
* 우변: $2^{2-2} = 2^0 = 1$
* 역시 좌변과 우변이 같으므로, $t=2$일 때 교점의 $x$좌표는 $2$가 맞습니다. 즉, $f(2)=2$입니다.
따라서 명제 ㄱ은 참입니다. ($\mathbf{A = 100}$)
2단계: 명제 ㄴ 확인하기 ($t$가 증가하면 $f(t)$도 증가하는가?)
그래프의 움직임을 기하학적으로 생각해 봅시다.
- 곡선 $y = -\log_2 x + t$는 $t$가 증가할수록 위쪽(y축 양의 방향)으로 평행이동합니다.
- 곡선 $y = 2^{x-t}$는 $t$가 증가할수록 오른쪽(x축 양의 방향)으로 평행이동합니다.
감소하는 그래프($y = -\log_2 x + t$)는 위로 올라가고, 증가하는 그래프($y = 2^{x-t}$)는 오른쪽으로 이동하므로, 두 그래프가 만나는 교점은 당연히 **오른쪽(즉, $x$값이 커지는 방향)으로 이동**하게 됩니다.
이를 수식으로도 확인해 볼까요?
교점의 방정식인 $2^{x-t} + \log_2 x = t$에서, 좌변을 $x$에 대한 함수 $g(x) = 2^{x-t} + \log_2 x$라고 두면 이 함수는 $x > 0$에서 항상 증가하는 함수입니다.
$t$가 증가하여 $t'$가 되었을 때, 기존의 교점 $x = f(t)$를 대입하면:
$$2^{f(t)-t'} + \log_2 f(t) < 2^{f(t)-t} + \log_2 f(t) = t < t'$$
이므로, 새로운 교점 $f(t')$는 $f(t)$보다 더 큰 $x$값에서 형성되어야만 우변인 $t'$와 같아질 수 있습니다. 따라서 $f(t) < f(t')$가 성립합니다.
따라서 명제 ㄴ은 참입니다. ($\mathbf{B = 10}$)
3단계: 명제 ㄷ 확인하기 (모든 양의 실수 $t$에 대하여 $f(t) \ge t$인가?)
이 명제는 "교점의 $x$좌표가 항상 $t$ 이상인가?"를 묻고 있습니다.
이를 확인하기 위해 $x = t$일 때 두 곡선의 $y$값의 대소를 비교해 봅시다.
- $x = t$일 때,
* 로그곡선의 $y$값: $y_1 = t - \log_2 t$
* 지수곡선의 $y$값: $y_2 = 2^{t-t} = 2^0 = 1$
만약 어떤 $t$에 대해 로그곡선이 지수곡선보다 아래에 있다면($y_1 < y_2$), 두 곡선은 $x < t$인 지점에서 만나게 되므로 $f(t) < t$가 될 것입니다.
즉, $t - \log_2 t < 1$인 $t$가 존재하는지 확인하면 됩니다. 이 식을 정리하면 다음과 같습니다.
$$t - \log_2 t - 1 < 0$$
우리는 이미 ㄱ에서 $t=1$과 $t=2$일 때 이 값이 $0$이 됨을 알았습니다.
- $t=1 \implies 1 - 0 - 1 = 0$
- $t=2 \implies 2 - 1 - 1 = 0$
그렇다면 $1 < t < 2$인 범위의 값, 예를 들어 $t = 1.5$를 대입해 볼까요?
$$1.5 - \log_2 1.5 - 1 = 0.5 - \log_2 \frac{3}{2} = \log_2 \sqrt{2} - \log_2 1.5$$
여기서 $\sqrt{2} \approx 1.414$이므로, $\sqrt{2} < 1.5$입니다.
따라서 $\log_2 \sqrt{2} < \log_2 1.5$가 되어 이 값은 **음수($<0$)**가 됩니다!
즉, $t = 1.5$일 때 $x = 1.5$에서의 로그곡선 값($1.5 - \log_2 1.5 \approx 0.915$)이 지수곡선 값($1$)보다 작으므로, 교점의 $x$좌표인 $f(1.5)$는 $1.5$보다 작아집니다. ($f(1.5) < 1.5$)
모든 양의 실수 $t$에 대해 성립한다는 말은 거짓이 됩니다.
따라서 명제 ㄷ은 거짓입니다. ($\mathbf{C = 0}$)
답
$$A = 100, \quad B = 10, \quad C = 0$$
이므로 구하고자 하는 값은
$$A + B + C = 110$$
입니다.
확인해보기
단계별 풀이의 3단계에서 우리는 $t - \log_2 t - 1$의 부호를 통해 명제 ㄷ의 참·거짓을 판별했습니다.
질문:
그렇다면 반대로 $f(t) \ge t$가 참이 되도록 하는 양의 실수 $t$의 범위는 어떻게 될까요? 그래프의 개형이나 식의 부호를 생각하며 스스로 범위를 구해보세요!