어떤 문제인가
이 문제는 주어진 삼차함수 $f(x)$와, 특정 구간 안에서 성립하는 조건식을 만족하는 정수 $k$와 $a$를 찾는 문제입니다.
이 문제를 풀기 위해 머릿속에 떠올려야 할 핵심 개념 3가지는 다음과 같습니다.
- 평균변화율의 기하학적 의미: 두 점을 이은 직선의 기울기입니다.
- 극값과 함수의 증가·감소: 함수가 증가하다가 감소하거나, 감소하다가 증가하는 지점을 '극값'이라고 합니다.
- 도함수: 함수의 기울기를 나타내는 도함수 $f'(x)$를 통해 극값의 위치를 찾을 수 있습니다.
특히, 문제에 주어진 조건식은 "구간 $\left(k, k+\frac{3}{2}\right)$ 안에 함수 $f(x)$의 극값이 존재한다"는 것을 의미합니다. 왜 그런지 단계별 풀이에서 자세히 알아볼게요!
단계별 풀이
1단계: 조건식의 의미 이해하기
문제의 조건식을 다시 한번 볼까요?
$$ \left\{ \frac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2} \right\} \times \left\{ \frac{f(x_2)-f(x_3)}{x_2-x_3} \right\} < 0 $$
두 평균변화율의 곱이 음수이므로, 하나는 양수이고 하나는 음수입니다. 각각에 평균값 정리를 적용하면 같은 열린구간 안에서 도함수 $f'$가 양수인 점과 음수인 점이 모두 존재합니다.
이 문제의 도함수는 $f'(x)=x(3x-4a)$입니다. $a\ne0$이므로 두 영점 $0$, $4a/3$에서 각각 부호가 바뀝니다. 따라서 두 평균변화율의 부호가 다르려면 열린구간 안에 이 두 극점 중 적어도 하나가 있어야 합니다.
반대로 극점이 열린구간 안에 있으면, 그 극점을 $x_2$로 놓고 양옆의 충분히 가까운 점을 $x_1,x_3$로 잡아 두 평균변화율의 부호를 다르게 만들 수 있습니다. 따라서 원래 조건과 극점 포함 조건은 서로 같습니다.
2단계: $f(x)$의 극값 구하기
이제 삼차함수 $f(x) = x^3 - 2ax^2$의 극값이 어디서 생기는지 도함수를 통해 알아봅시다.
$$ f'(x) = 3x^2 - 4ax = x(3x - 4a) $$
$f'(x) = 0$이 되는 $x$의 값은 다음과 같습니다.
$$ x = 0 \quad \text{또는} \quad x = \frac{4}{3}a $$
$a \neq 0$이므로, $f(x)$는 서로 다른 두 지점 $x = 0$과 $x = \frac{4}{3}a$에서 극값을 가집니다.
3단계: 극값 $x = 0$을 포함하는 정수 $k$ 찾기
첫 번째 극값인 $x = 0$이 구간 $\left(k, k+\frac{3}{2}\right)$에 포함되어야 합니다. 식을 세워볼까요?
$$ k < 0 < k + \frac{3}{2} $$
이 부등식을 정리하면 다음과 같습니다.
- $k < 0$
- $0 < k + \frac{3}{2} \implies k > -\frac{3}{2} = -1.5$
즉, $-1.5 < k < 0$입니다. 이 범위를 만족하는 정수 $k$는 오직 $-1$뿐입니다.
따라서 $a$의 값과 상관없이 $k = -1$은 항상 조건을 만족하는 정수가 됩니다.
4단계: 극값 $x = \frac{4}{3}a$를 포함하는 정수 $k$와 $a$ 구하기
두 번째 극값인 $x = \frac{4}{3}a$가 구간 $\left(k, k+\frac{3}{2}\right)$에 포함되는 조건은 다음과 같습니다.
$$ k < \frac{4}{3}a < k + \frac{3}{2} $$
이 식을 $k$에 대해 정리하면 다음과 같습니다.
$$ \frac{4}{3}a - \frac{3}{2} < k < \frac{4}{3}a $$
이 구간의 길이는 $\frac{3}{2} = 1.5$이므로, 이 범위 안에 들어오는 정수 $k$는 1개 또는 2개가 존재할 수 있습니다.
문제에서 "모든 정수 $k$의 값의 곱이 $-12$"라고 했습니다.
우리는 이미 $k = -1$이 항상 포함된다는 것을 알고 있습니다.
따라서 나머지 정수 $k$들의 곱은 $12$가 되어야 합니다. (그래야 $(-1) \times 12 = -12$가 되니까요!)
구간의 길이가 $1.5$이므로, 이 구간 안에 들어오는 정수들은 서로 이웃한 정수(연속한 정수)여야 합니다. 곱해서 $12$가 되는 정수들의 조합을 찾아봅시다.
- 경우 1: 단 하나의 정수 $12$만 있는 경우
- 경우 2: 연속한 두 정수의 곱이 $12$인 경우 $\implies 3 \times 4 = 12$ 또는 $(-3) \times (-4) = 12$
여기서 두 번째 구간은 $k=-1$을 포함하지 않습니다. $a\ge1$이면 구간의 아래끝이 $-1/6$ 이상이고, $a\le-1$이면 위끝이 $-4/3$ 이하이기 때문입니다. 따라서 이미 찾은 $-1$을 중복해서 세는 경우도 없습니다.
단 하나의 정수 $12$만 있는 경우부터 확인해 봅시다. $12<4a/3<13.5$이므로 가능한 정수는 $a=10$뿐입니다. 그런데 이때 구간은 $(71/6,40/3)$이 되어 $12$와 $13$이 모두 들어갑니다. 따라서 이 경우는 불가능합니다.
각 경우에 대해 정수 $a$가 존재하는지 확인해 봅시다.
① 곱이 $12$가 되는 정수가 $\{3, 4\}$인 경우
$k = 3$과 $k = 4$가 모두 부등식 $\frac{4}{3}a - 1.5 < k < \frac{4}{3}a$를 만족해야 합니다.
즉, $3$과 $4$가 모두 이 구간에 들어가려면 다음과 같아야 합니다.
$$ 4 < \frac{4}{3}a < 3 + 1.5 \implies 4 < \frac{4}{3}a < 4.5 $$
양변에 $3$을 곱하고 $4$로 나누면:
$$ 3 < a < 3.375 $$
이 범위를 만족하는 정수 $a$는 존재하지 않습니다.
② 곱이 $12$가 되는 정수가 $\{-4, -3\}$인 경우
$k = -4$와 $k = -3$이 모두 구간에 들어가려면 다음과 같아야 합니다.
$$ -3 < \frac{4}{3}a < -4 + 1.5 \implies -3 < \frac{4}{3}a < -2.5 $$
양변에 $3$을 곱하고 $4$로 나누면:
$$ -2.25 < a < -1.875 $$
이 범위를 만족하는 정수 $a$는 $-2$입니다!
따라서 $a = -2$일 때, 조건을 만족하는 정수 $k$는 $-1, -3, -4$가 되며, 이들의 곱은 $(-1) \times (-3) \times (-4) = -12$가 되어 문제의 조건과 완벽히 일치합니다.
5단계: $f'(10)$의 값 구하기
구한 $a = -2$를 도함수 $f'(x) = 3x^2 - 4ax$에 대입합니다.
$$ f'(x) = 3x^2 + 8x $$
이제 $x = 10$을 대입하여 최종 답을 구합니다.
$$ f'(10) = 3(10)^2 + 8(10) = 300 + 80 = 380 $$
답
$$ 380 $$
확인해보기
이 문제를 잘 이해했는지 스스로 점검해 볼 수 있는 질문입니다.
> 질문: 만약 문제에서 "모든 정수 $k$의 값의 곱이 $-12$" 대신 "모든 정수 $k$의 값의 합이 $-5$"라고 했다면, 그 조건을 만족하는 정수 $a$가 존재할까요? (단, $a \neq 0$)