어떤 문제인가
이 문제는 수열의 합을 나타내는 기호인 **시그마($\sum$)의 기본 성질**을 잘 이해하고 있는지 묻는 문제입니다.
문제를 해결하기 위해 꼭 알아야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다:
- 시그마의 분배법칙: 두 수열의 합이나 차에 대한 시그마는 각각의 시그마의 합이나 차로 나눌 수 있습니다. ($\sum (x_k + y_k) = \sum x_k + \sum y_k$)
- 상수배의 성질: 시그마 기호 안의 상수는 시그마 앞으로 꺼낼 수 있습니다. ($\sum c \cdot a_k = c \sum a_k$)
- 상수의 합: 상수만 있는 항을 여러 번 더할 때는 상수에 더하는 횟수를 곱해줍니다. ($\sum_{k=1}^{n} c = c \times n$)
단계별 풀이
1단계: 주어진 식을 시그마의 성질을 이용해 분리하기
우선 문제에서 주어진 식 $\sum_{k=1}^{10} (2a_k + 3) = 60$의 좌변을 시그마의 성질을 이용해서 각각 나누어 써 봅시다. 덧셈으로 연결되어 있으므로 시그마를 각각 씌워줄 수 있습니다.
$$\sum_{k=1}^{10} (2a_k + 3) = \sum_{k=1}^{10} 2a_k + \sum_{k=1}^{10} 3$$
2단계: 각 부분을 더 간단하게 정리하기
이제 분리한 두 식을 하나씩 정리해 봅시다.
- **첫 번째 항 ($\sum_{k=1}^{10} 2a_k$)**:
$a_k$ 앞에 곱해진 상수 $2$는 시그마 앞으로 보낼 수 있습니다.
$$\sum_{k=1}^{10} 2a_k = 2 \sum_{k=1}^{10} a_k$$
- **두 번째 항 ($\sum_{k=1}^{10} 3$)**:
이 식은 $k$의 값에 상관없이 항상 $3$이라는 값을 $1$부터 $10$까지 총 10번 더하라는 뜻입니다. 즉, $3$을 10번 더한 것과 같습니다.
$$\sum_{k=1}^{10} 3 = 3 \times 10 = 30$$
이 두 결과를 원래 식에 대입해 보면 다음과 같이 정리됩니다.
$$2 \sum_{k=1}^{10} a_k + 30 = 60$$
3단계: 구하고자 하는 값 계산하기
우리가 구하고 싶은 값은 $\sum_{k=1}^{10} a_k$입니다. 이 값을 편의상 하나의 문자 $X$라고 두고 일차방정식을 풀어봅시다.
$$2X + 30 = 60$$
양변에서 $30$을 빼줍니다.
$$2X = 30$$
양변을 $2$로 나누어 줍니다.
$$X = 15$$
따라서 우리가 구하고자 하는 $\sum_{k=1}^{10} a_k$의 값은 $15$가 됩니다.
답
**② $15$**
확인해보기
오늘 배운 시그마의 성질을 잘 이해했는지 스스로 확인해 볼까요? 다음 문제를 직접 풀어보세요.
> [스스로 풀어보기]
> 수열 $\{b_n\}$에 대하여 $\sum_{k=1}^{5} (3b_k - 2) = 25$일 때, $\sum_{k=1}^{5} b_k$의 값은 얼마일까요?