어떤 문제인가
이 문제는 함수의 '연속성(Continuity)'이라는 아주 중요한 개념을 이해하고 있는지 묻는 문제입니다.
이 문제를 풀기 위해 꼭 알아야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다.
- 함수의 연속 정의: 어떤 함수 $f(x)$가 $x=a$에서 연속이라는 것은, $x$가 $a$로 가까이 갈 때의 극한값과 실제 $x=a$에서의 함숫값이 서로 같다는 것을 의미합니다. 즉, 아래의 식이 성립합니다.
$$\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$$
- 일차방정식의 풀이: 구하고자 하는 값 $f(1)$을 하나의 미지수로 두고 방정식을 풀어냅니다.
단계별 풀이
1단계: '연속'의 정의를 문제에 적용하기
문제에서 함수 $f(x)$는 실수 전체의 집합에서 연속이라고 했습니다.
실수 전체에서 연속이므로, 당연히 $x=1$이라는 특정 지점에서도 연속이어야 합니다.
함수 $f(x)$가 $x=1$에서 연속이므로, 연속의 정의에 의해 다음이 성립합니다.
$$\lim_{x \to 1} f(x) = f(1)$$
이 식은 "$x$가 $1$에 한없이 가까워질 때의 $f(x)$의 값(극한값)은 실제 $f(1)$의 값(함숫값)과 같다"는 뜻입니다.
2단계: 주어진 식에 대입하여 방정식 만들기
문제에서 주어진 식은 다음과 같습니다.
$$\lim_{x \to 1} f(x) = 4 - f(1)$$
우리는 1단계에서 $\lim_{x \to 1} f(x)$가 결국 $f(1)$과 같다는 것을 알아냈습니다.
따라서 주어진 식의 좌변에 있는 $\lim_{x \to 1} f(x)$ 대신 $f(1)$을 대입할 수 있습니다. 대입해 볼까요?
$$f(1) = 4 - f(1)$$
3단계: $f(1)$의 값 구하기
이제 $f(1)$을 구하기 위해 이 식을 정리해 봅시다.
우변에 있는 $-f(1)$을 좌변으로 이항합니다.
$$f(1) + f(1) = 4$$
$$2f(1) = 4$$
양변을 $2$로 나누면 우리가 원하는 $f(1)$의 값을 얻을 수 있습니다.
$$f(1) = 2$$
답
**② $2$**
확인해보기
오늘 배운 개념을 잘 이해했는지 스스로 확인해 볼까요?
> [질문]
> 실수 전체의 집합에서 연속인 함수 $g(x)$가 있습니다. 이 함수가 다음 식을 만족할 때, $g(3)$의 값은 얼마일까요?
> $$\lim_{x \to 3} g(x) = 12 - 2g(3)$$