어떤 문제인가
이 문제는 두 식의 곱으로 표현된 함수 $g(x)$의 미분계수(특정 점에서의 접선의 기울기)를 구하는 문제입니다.
이 문제를 해결하기 위해 알아야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다:
- 곱의 미분법: 두 함수 $u(x)$와 $v(x)$가 곱해진 함수를 미분할 때는 $\{u(x)v(x)\}' = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)$ 공식을 사용합니다.
- 미분계수의 계산: 도함수 $g'(x)$를 구한 뒤, $x$에 주어진 값($1$)을 대입하여 값을 구합니다.
단계별 풀이
1. 곱의 미분법을 사용하여 $g'(x)$ 구하기
함수 $g(x) = (x^3 + 1)f(x)$는 $x^3 + 1$이라는 다항식과 $f(x)$라는 함수의 곱으로 이루어져 있습니다. 곱의 미분법 공식인 "앞의 식 미분하고 뒤의 식 그대로 + 앞의 식 그대로 두고 뒤의 식 미분"을 적용해 봅시다.
먼저 앞의 식인 $x^3 + 1$을 미분하면 다음과 같습니다.
$$(x^3 + 1)' = 3x^2$$
이제 곱의 미분법을 적용하여 $g'(x)$를 구합니다.
$$g'(x) = (x^3 + 1)' \cdot f(x) + (x^3 + 1) \cdot f'(x)$$
$$g'(x) = 3x^2 \cdot f(x) + (x^3 + 1) \cdot f'(x)$$
2. 구하고자 하는 $g'(1)$을 만들기 위해 $x=1$ 대입하기
우리가 구해야 하는 값은 $g'(1)$이므로, 위에서 구한 $g'(x)$ 식의 모든 $x$ 자리에 $1$을 대입합니다.
$$g'(1) = 3(1)^2 \cdot f(1) + (1^3 + 1) \cdot f'(1)$$
이를 간단히 정리하면 다음과 같습니다.
$$g'(1) = 3 \cdot f(1) + 2 \cdot f'(1)$$
3. 주어진 조건의 값을 대입하여 최종 답 계산하기
문제에서 $f(1) = 2$, $f'(1) = 3$이라고 알려주었습니다. 이 값을 식에 대입하여 계산을 마무리합니다.
$$g'(1) = 3 \cdot 2 + 2 \cdot 3$$
$$g'(1) = 6 + 6 = 12$$
따라서 $g'(1)$의 값은 $12$입니다.
답
① $12$
확인해보기
오늘 배운 곱의 미분법을 잘 이해했는지 스스로 확인해 볼까요?
> [질문]
> 다항함수 $f(x)$에 대하여 $h(x) = (x^2 + 2x)f(x)$라고 할 때, $f(2) = 5$, $f'(2) = 4$입니다. 이때 $h'(2)$의 값은 얼마일까요? 직접 노트에 풀이 과정을 적으며 계산해 보세요!