어떤 문제인가
이 문제는 주어진 삼각방정식을 만족하는 $\sin\theta$의 값을 구하는 문제입니다. 문제를 해결하기 위해 우리는 다음 3가지 핵심 개념을 사용할 거예요.
- 삼각함수의 음각 공식: 각도의 부호가 반대일 때 삼각함수 값이 어떻게 변하는지 이해합니다. ($\sin(-\theta) = -\sin\theta$)
- 삼각함수의 기본 관계식: $\sin\theta$와 $\cos\theta$ 사이의 가장 중요한 관계식인 $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$을 이용합니다.
- 사분면에 따른 삼각함수의 부호: 주어진 조건($\cos\theta < 0$)을 통해 $\sin\theta$의 부호가 양수인지 음수인지 판별합니다.
단계별 풀이
1단계: 음각 공식을 이용하여 식 단순화하기
가장 먼저 복잡해 보이는 $\sin(-\theta)$를 정리해 봅시다.
사인 함수는 원점에 대해 대칭인 기함수(홀함수)이므로, 다음과 같은 성질을 가집니다.
$$\sin(-\theta) = -\sin\theta$$
이 성질을 문제에서 주어진 식에 대입해 볼까요?
$$-\sin\theta = \frac{1}{7}\cos\theta$$
양변에 $-7$을 곱해서 $\cos\theta$에 대해 정리하면 다음과 같습니다.
$$\cos\theta = -7\sin\theta$$
2단계: $\sin\theta$의 부호 결정하기
문제에서 $\cos\theta < 0$이라고 했습니다.
우리가 1단계에서 구한 식 $\cos\theta = -7\sin\theta$를 여기에 대입해 봅시다.
$$-7\sin\theta < 0$$
양변을 $-7$로 나누면 부등호 방향이 바뀌므로,
$$\sin\theta > 0$$
이 됩니다. 즉, 우리가 구하고자 하는 $\sin\theta$의 값은 양수여야 합니다.
*(참고: $\cos\theta < 0$이고 $\sin\theta > 0$이므로, 동경 $\theta$는 제2사분면에 위치합니다.)*
3단계: 삼각함수의 기본 관계식 적용하기
이제 $\sin\theta$의 값을 직접 구하기 위해, 모든 삼각함수 문제의 만능 열쇠인 아래 공식을 사용합니다.
$$\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$$
이 식의 $\cos\theta$ 자리에 1단계에서 구한 $-7\sin\theta$를 대입해 봅시다.
$$\sin^2\theta + (-7\sin\theta)^2 = 1$$
$$\sin^2\theta + 49\sin^2\theta = 1$$
$$50\sin^2\theta = 1$$
$$\sin^2\theta = \frac{1}{50}$$
4단계: 제곱근 계산 및 유리화하기
양변에 제곱근을 씌워 $\sin\theta$를 구합니다.
$$\sin\theta = \pm\sqrt{\frac{1}{50}} = \pm\frac{1}{5\sqrt{2}}$$
분모를 유리화하면 다음과 같습니다.
$$\sin\theta = \pm\frac{\sqrt{2}}{10}$$
우리는 2단계에서 $\sin\theta > 0$임을 이미 확인했습니다. 따라서 최종 답은 양수 값만 가능합니다.
$$\sin\theta = \frac{\sqrt{2}}{10}$$
답
정답은 **④ $\frac{\sqrt{2}}{10}$** 입니다.
확인해보기
질문: 만약 문제의 조건이 $\cos\theta < 0$이 아니라 $\cos\theta > 0$으로 주어졌다면, $\sin\theta$의 값은 어떻게 변했을까요? 그리고 이때 동경 $\theta$는 제 몇 사분면에 있게 될까요?