어떤 문제인가
이 문제는 로그함수의 그래프 성질을 이해하고, 그래프의 점근선을 구한 뒤, 그 점근선과 다른 로그함수 그래프의 교점의 좌표를 이용하여 미지수 $a$의 값을 구하는 문제입니다.
이 문제를 풀기 위해 알아야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다:
- 로그함수의 점근선: 로그함수 $y = \log_b(x-p) + q$의 점근선은 진수 조건($x-p > 0$)의 경계인 직선 $x = p$입니다.
- 로그의 성질: 밑 변환 공식과 로그의 성질($\log_a x^n = n\log_a x$, $\log_a \frac{x}{y} = \log_a x - \log_a y$)을 활용해 식을 간단히 정리하는 능력입니다.
- 두 점 사이의 거리: 두 점의 $x$좌표가 같을 때, 두 점 사이의 거리는 $y$좌표의 차의 절댓값과 같습니다.
단계별 풀이
1단계: 곡선 $y = \log_2(x-a)$의 점근선 구하기
로그함수에서 진수(로그 기호 안의 식)는 항상 $0$보다 커야 합니다. 즉, $x-a > 0$이어야 하므로 정의역은 $x > a$가 됩니다.
이때 $x$가 $a$에 한없이 가까워질 때 $y$값은 음의 무한대로 발산하므로, 이 그래프의 **점근선의 방정식은 $x = a$**가 됩니다.
2단계: 점근선과 두 곡선의 교점 $\text{A}$, $\text{B}$의 좌표 구하기
점근선 $x = a$가 두 곡선 $y = \log_2 \frac{x}{4}$와 $y = \log_{\frac{1}{2}} x$와 만나는 점을 각각 $\text{A}$, $\text{B}$라고 했으므로, 각 식에 $x = a$를 대입하여 $y$좌표를 구합니다.
- **점 $\text{A}$의 좌표 구하기**
$y = \log_2 \frac{x}{4}$에 $x = a$를 대입하면,
$$y_A = \log_2 \frac{a}{4} = \log_2 a - \log_2 4 = \log_2 a - 2$$
따라서, $\text{A}(a, \log_2 a - 2)$입니다.
- **점 $\text{B}$의 좌표 구하기**
$y = \log_{\frac{1}{2}} x$에 $x = a$를 대입하면, 밑을 $2$로 통일하기 위해 $\frac{1}{2} = 2^{-1}$임을 이용합니다.
$$y_B = \log_{2^{-1}} a = -\log_2 a$$
따라서, $\text{B}(a, -\log_2 a)$입니다.
3단계: $\overline{\text{AB}} = 4$를 이용하여 $a$의 값 구하기
두 점 $\text{A}$와 $\text{B}$는 모두 $x$좌표가 $a$로 같습니다. 따라서 두 점 사이의 거리 $\overline{\text{AB}}$는 두 점의 $y$좌표의 차이에 절댓값을 씌운 것과 같습니다.
$$\overline{\text{AB}} = |y_A - y_B|$$
$$\overline{\text{AB}} = |(\log_2 a - 2) - (-\log_2 a)| = |2\log_2 a - 2|$$
문제에서 이 거리가 $4$라고 주어졌으므로 식을 세우면 다음과 같습니다.
$$|2\log_2 a - 2| = 4$$
양변을 $2$로 나누어 식을 간단히 만듭니다.
$$|\log_2 a - 1| = 2$$
이 절대값 방정식은 두 가지 경우로 나누어 풀 수 있습니다.
- **경우 1) $\log_2 a - 1 = 2$ 일 때**
$$\log_2 a = 3 \implies a = 2^3 = 8$$
- **경우 2) $\log_2 a - 1 = -2$ 일 때**
$$\log_2 a = -1 \implies a = 2^{-1} = \frac{1}{2}$$
문제의 조건에서 $a > 2$라고 했으므로, 우리가 구하는 값은 $a = 8$이 됩니다.
답
**③ $8$**
확인해보기
함수 $y = \log_3(x-2) + 1$의 점근선의 방정식은 무엇이며, 이 점근선이 곡선 $y = \log_3 x$와 만나는 점의 좌표는 어떻게 될까요? 스스로 생각해보세요!